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東北大学 2011年理系第6問解説

方針・初手

行列

$$ A=\begin{pmatrix} 3 & -1\ 4 & -1 \end{pmatrix} $$

の累乗を求めて、点 $P_n$ の座標を $n$ の式で表す。すると $P_n$ は一直線上を動くことが分かるので、点 $Q(10,10)$ との距離を $n$ の関数として最小化すればよい。

解法1

点 $P=(1,1)$ を列ベクトルで表すと、

$$ P=\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix} $$

である。問題文より

$$ P_1=AP,\qquad P_{n+1}=AP_n $$

だから、

$$ P_n=A^nP $$

である。

そこで $A^n$ を求める。まず

$$ A-I= \begin{pmatrix} 2 & -1\ 4 & -2 \end{pmatrix} =:N $$

とおくと、

$$ N^2= \begin{pmatrix} 2 & -1\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1\ 4 & -2 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

となる。したがって $N^2=0$ であり、

$$ A=I+N $$

より二項展開を使って

$$ A^n=(I+N)^n=I+nN $$

となる。

よって

$$ A^n === # I+n(A-I) \begin{pmatrix} 1+2n & -n\ 4n & 1-2n \end{pmatrix} $$

である。これを $P=\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}$ に作用させると、

$$ P_n === A^n \begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix} =============================== \begin{pmatrix} 1+2n-n\ 4n+1-2n \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} n+1\ 2n+1 \end{pmatrix} $$

となる。

したがって $P_n=(n+1,,2n+1)$ であるから、$Q(10,10)$ との距離の二乗は

$$ \begin{aligned} |P_nQ|^2 &=(n+1-10)^2+(2n+1-10)^2\\ &=(n-9)^2+(2n-9)^2\\ &=5n^2-54n+162 \end{aligned} $$

である。

これは上に凸の二次式なので、実数として最小になるのは

$$ n=\frac{54}{2\cdot 5}=\frac{27}{5}=5.4 $$

のときである。$n$ は正の整数だから、候補は $n=5,6$ である。

実際に比べると、

$$ |P_5Q|^2=(5-9)^2+(10-9)^2=16+1=17 $$

$$ |P_6Q|^2=(6-9)^2+(12-9)^2=9+9=18 $$

となるので、$n=5$ のときが最も近い。