東北大学 1993年 理系 第5問 解説

注意

画像の読み取りでは （1） が「$a,b,c$ を求めよ」となっているが、与えられた3条件から一意に定まるのは $a,d,b+c$ のみであり、$b,c$ はそれぞれ単独には定まらない。したがって以下では、（1） は実質的に「$a,d,b+c$ を求める問題」として扱う。

方針・初手

点 $P(x,y)$ の像を $P'$ とすると、

$$ \overrightarrow{OP'}=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ax+by\cx+dy\end{pmatrix} $$

であるから、内積 $\overrightarrow{OP'}\cdot \overrightarrow{OP}$ は

$$ (ax+by)x+(cx+dy)y =ax^2+(b+c)xy+dy^2 $$

と表される。したがって、この問題では $a,d,b+c$ を先に決めればよい。

解法1

(1)

$P_1=(1,0)$ より、その像 $P_1'$ に対して

$$ \overrightarrow{OP_1'}\cdot \overrightarrow{OP_1} =a=1 $$

である。

次に $P_3=(0,1)$ より、

$$ \overrightarrow{OP_3'}\cdot \overrightarrow{OP_3} =d=3 $$

である。

さらに $P_2=\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ に対しては、

$$ \overrightarrow{OP_2'}\cdot \overrightarrow{OP_2} =a\cdot \frac12 +(b+c)\cdot \frac12 +d\cdot \frac12 =3 $$

であるから、

$$ a+b+c+d=6 $$

となる。ここに $a=1,\ d=3$ を代入すると、

$$ b+c=2 $$

を得る。

よって一意に定まるのは

$$ a=1,\quad d=3,\quad b+c=2 $$

である。

したがって、画像の記載どおりに「$a,b,c$ を求める」とすると、$b,c$ は個別には決まらない。

(2)

$P=(\cos t,\sin t)$ とおくと、

$$ \overrightarrow{OP'}\cdot \overrightarrow{OP} =a\cos^2 t +(b+c)\sin t\cos t +d\sin^2 t $$

である。（1） の結果 $a=1,\ b+c=2,\ d=3$ を用いると、

$$ \overrightarrow{OP'}\cdot \overrightarrow{OP} =\cos^2 t+2\sin t\cos t+3\sin^2 t $$

となる。これを変形すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP'}\cdot \overrightarrow{OP} &=\frac{1+\cos 2t}{2}+\sin 2t+\frac{3(1-\cos 2t)}{2} \\ &=2+\sin 2t-\cos 2t \\ &=2+\sqrt2\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

したがって、

$$ 2-\sqrt2 \leqq \overrightarrow{OP'}\cdot \overrightarrow{OP}\leqq 2+\sqrt2 $$

である。

$t$ は $0\leqq t\leqq \pi$ を動くので、$2t$ は $0\leqq 2t\leqq 2\pi$ を動き、上の正弦関数は最大値・最小値をともにこの範囲でとる。

最大値は

$$ \sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right)=1 $$

のときであるから、

$$ 2t-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} $$

より

$$ t=\frac{3\pi}{8} $$

であり、その最大値は

$$ 2+\sqrt2 $$

である。

最小値は

$$ \sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right)=-1 $$

のときであるから、

$$ 2t-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2} $$

より

$$ t=\frac{7\pi}{8} $$

であり、その最小値は

$$ 2-\sqrt2 $$

である。

解説

この問題の本質は、$\overrightarrow{OP'}\cdot \overrightarrow{OP}$ が

$$ ax^2+(b+c)xy+dy^2 $$

という2次式になることである。したがって、行列 $A$ の各成分すべてではなく、内積に現れる $a,d,b+c$ だけが重要になる。

（2） では $P=(\cos t,\sin t)$ を代入すると三角関数の式になるので、$\sin 2t,\cos 2t$ に直してから合成すると極値がすぐに読める。

答え

(1)

与条件から一意に定まるのは

$$ a=1,\quad d=3,\quad b+c=2 $$

である。したがって $b,c$ は個別には定まらない。

(2)

$$ \overrightarrow{OP'}\cdot \overrightarrow{OP} =2+\sqrt2\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right) $$

より、

最大値は

$$ 2+\sqrt2 $$

そのとき

$$ t=\frac{3\pi}{8} $$

最小値は

$$ 2-\sqrt2 $$

そのとき

$$ t=\frac{7\pi}{8} $$

である。