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東京大学 2012年理系第6問解説

方針・初手

（1）は、与えられた行列の成分をそのまま計算して整理し、トレース（対角成分の和）を求める。三角関数の倍角の公式や加法定理を用いて式を簡略化し、$x$ の関数としての最大値を考える。（2）は、トレースの性質 $Tr(XY) = Tr(YX)$ などを活用して両辺をそれぞれ計算する。指数を含む項については、式を因数分解したうえで相加平均と相乗平均の大小関係を用いて不等式を評価する。

解法1

(1)

$M = U(t)AU(-t) - B$ とおく。

まず、$U(t)AU(-t)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} U(t)AU(-t) &= \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a\cos t & -b\sin t \\ a\sin t & b\cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a\cos^2 t + b\sin^2 t & (a-b)\sin t \cos t \\ (a-b)\sin t \cos t & a\sin^2 t + b\cos^2 t \end{pmatrix} \end{aligned} $$

これより、行列 $M$ は以下のように整理できる。

$$ \begin{aligned} M &= \begin{pmatrix} a\cos^2 t + b\sin^2 t - b & (a-b)\sin t \cos t \\ (a-b)\sin t \cos t & a\sin^2 t + b\cos^2 t - a \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a\cos^2 t - b(1-\sin^2 t) & (a-b)\sin t \cos t \\ (a-b)\sin t \cos t & -a(1-\sin^2 t) + b\cos^2 t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (a-b)\cos^2 t & (a-b)\sin t \cos t \\ (a-b)\sin t \cos t & -(a-b)\cos^2 t \end{pmatrix} \\ &= (a-b)\cos t \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix} \end{aligned} $$

次に、$V(x) = U(x)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}U(-x)$ とおく。

$$ \begin{aligned} V(x) &= \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ \sin x & -\cos x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos^2 x - \sin^2 x & 2\sin x \cos x \\ 2\sin x \cos x & \sin^2 x - \cos^2 x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ \sin 2x & -\cos 2x \end{pmatrix} \end{aligned} $$

したがって、$f(x)$ は $M$ と $V(x)$ の積のトレースであるから、次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= Tr(M V(x)) \\ &= (a-b)\cos t \cdot Tr\left( \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ \sin 2x & -\cos 2x \end{pmatrix} \right) \end{aligned} $$

行列の積の対角成分は、それぞれ $\cos t \cos 2x + \sin t \sin 2x$ と $\sin t \sin 2x + \cos t \cos 2x$ になるから、

$$ \begin{aligned} f(x) &= (a-b)\cos t \{ (\cos t \cos 2x + \sin t \sin 2x) + (\sin t \sin 2x + \cos t \cos 2x) \} \\ &= 2(a-b)\cos t (\cos t \cos 2x + \sin t \sin 2x) \end{aligned} $$

三角関数の加法定理より、

$$ f(x) = 2(a-b)\cos t \cos(2x-t) $$

$x$ が実数全体を動くとき、$\cos(2x-t)$ は $-1 \leqq \cos(2x-t) \leqq 1$ の範囲を動く。

$a \geqq b > 0$ より $a-b \geqq 0$ であるため、$f(x)$ は $\cos(2x-t) = 1$ または $-1$ のときに最大値をとる。すなわち、$2(a-b)\cos t$ の符号によらず、最大値は絶対値をとった形となる。

$$ m(t) = 2(a-b)|\cos t| $$

(2)

示すべき不等式を次のように設定する。

$$ 2Tr(U(t)CU(-t)D) \geqq Tr(U(t)AU(-t) + B) - m(t) $$

まず、右辺のトレースを計算する。トレースの巡回不変性 $Tr(XY) = Tr(YX)$ と線形性より、

$$ Tr(U(t)AU(-t)) = Tr(AU(-t)U(t)) = Tr(A) = a+b $$

また、$Tr(B) = b+a = a+b$ であるため、右辺は次のようになる。

$$ Tr(U(t)AU(-t) + B) - m(t) = 2(a+b) - 2(a-b)|\cos t| $$

次に、左辺のトレースを計算する。（1）での $U(t)AU(-t)$ の計算結果において、$a$ を $a^c$、$b$ を $b^c$ に置き換えることで以下の式を得る。

$$ U(t)CU(-t) = \begin{pmatrix} a^c\cos^2 t + b^c\sin^2 t & (a^c-b^c)\sin t \cos t \\ (a^c-b^c)\sin t \cos t & a^c\sin^2 t + b^c\cos^2 t \end{pmatrix} $$

これに $D = \begin{pmatrix} b^{1-c} & 0 \\ 0 & a^{1-c} \end{pmatrix}$ を右から掛けると、対角成分はそれぞれ以下のようになる。

$$ (a^c\cos^2 t + b^c\sin^2 t)b^{1-c} $$

$$ (a^c\sin^2 t + b^c\cos^2 t)a^{1-c} $$

トレースはこれらの和であるから、

$$ \begin{aligned} Tr(U(t)CU(-t)D) &= a^c b^{1-c}\cos^2 t + b\sin^2 t + a\sin^2 t + a^{1-c} b^c\cos^2 t \\ &= (a^c b^{1-c} + a^{1-c} b^c)\cos^2 t + (a+b)\sin^2 t \end{aligned} $$

したがって、示すべき不等式は次のように変形できる。

$$ 2 \{ (a^c b^{1-c} + a^{1-c} b^c)\cos^2 t + (a+b)\sin^2 t \} \geqq 2(a+b) - 2(a-b)|\cos t| $$

両辺を $2$ で割り、$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ を用いて整理する。

$$ \begin{aligned} (a^c b^{1-c} + a^{1-c} b^c)\cos^2 t + (a+b)(1 - \cos^2 t) &\geqq a+b - (a-b)|\cos t| \\ (a^c b^{1-c} + a^{1-c} b^c)\cos^2 t - (a+b)\cos^2 t &\geqq -(a-b)|\cos t| \\ (a+b - a^c b^{1-c} - a^{1-c} b^c)\cos^2 t &\leqq (a-b)|\cos t| \end{aligned} $$

ここで、$K = a+b - a^c b^{1-c} - a^{1-c} b^c$ とおき、すべての実数 $t$ に対して $K \cos^2 t \leqq (a-b)|\cos t|$ が成り立つことを示す。$K$ を因数分解する。

$$ K = (a^c - b^c)(a^{1-c} - b^{1-c}) $$

$a \geqq b > 0$ かつ $0 \leqq c \leqq 1$ であるから、$a^c \geqq b^c$ および $a^{1-c} \geqq b^{1-c}$ が成り立つ。よって $K \geqq 0$ である。

また、$|\cos t| \leqq 1$ であるから、両辺に $K|\cos t| \geqq 0$ を掛けると、

$$ K |\cos t|^2 \leqq K |\cos t| $$

すなわち、$K \cos^2 t \leqq K |\cos t|$ が成り立つ。さらに、$(a-b) - K \geqq 0$ であることを示す。

$$ (a-b) - K = a - b - (a+b - a^c b^{1-c} - a^{1-c} b^c) = a^c b^{1-c} + a^{1-c} b^c - 2b $$

$a^c b^{1-c} > 0, a^{1-c} b^c > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ a^c b^{1-c} + a^{1-c} b^c \geqq 2 \sqrt{a^c b^{1-c} \cdot a^{1-c} b^c} = 2 \sqrt{ab} $$

$a \geqq b > 0$ より $\sqrt{ab} \geqq \sqrt{b^2} = b$ であるため、

$$ 2 \sqrt{ab} \geqq 2b $$

したがって、$(a-b) - K \geqq 0$ となり、$K \leqq a-b$ が示された。以上より、

$$ K \cos^2 t \leqq K |\cos t| \leqq (a-b)|\cos t| $$

となり、目的の不等式がすべての実数 $t$ に対して成り立つことが示された。

解説

行列の積とトレースの計算、および不等式評価を組み合わせた総合問題である。（1）では、行列の成分計算を正確に実行し、三角関数の公式を用いて式を見通し良く整理する計算力が求められる。（2）では、トレースの巡回不変性 $Tr(XY) = Tr(YX)$ を知っていると右辺の計算が大きく簡略化される。左辺と右辺の差をとった後の不等式の証明では、式を適切に因数分解して符号を判定する発想と、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて評価する発想が鍵となる。