東北大学 2020年 理系 第1問 解説

方針・初手

（1） は余弦定理で $\cos\theta$ を直接求め、$\sin\theta$ は $0<\theta<\pi$ であることから正の値を取る。

（2） は $AC$ を $x$ 軸上に置いて座標で処理するのが最も素直である。すると $B,H,P$ の座標がすぐに書け、$AP^2+BP^2+CP^2$ は $s$ の2次式になる。

解法1

まず （1） を求める。

三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると、

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\theta $$

より、

$$ \left(\frac12\right)^2=1^2+1^2-2\cos\theta $$

したがって

$$ \frac14=2-2\cos\theta $$

であるから、

$$ \cos\theta=\frac78 $$

を得る。

また、$\theta=\angle BAC$ は三角形の内角なので $0<\theta<\pi$ であり、$\sin\theta>0$ である。よって

$$ \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} =\sqrt{1-\left(\frac78\right)^2} =\sqrt{\frac{15}{64}} =\frac{\sqrt{15}}{8} $$

である。

次に （2） を考える。

座標を

$$ A=(0,0),\quad C=(1,0) $$

とおく。すると （1） より

$$ B=(\cos\theta,\sin\theta)=\left(\frac78,\frac{\sqrt{15}}8\right) $$

となる。

$H$ は $B$ から辺 $AC$ に下ろした垂線の足であるから、

$$ H=\left(\frac78,0\right) $$

である。

さらに、$P$ は辺 $BH$ を $s:1-s$ に内分する点、すなわち

$$ BP:PH=s:(1-s) $$

を満たす点である。よって $BP=s\cdot BH$ となり、$P$ は $B$ から $H$ に向かって $s$ だけ進んだ点だから、

$$ P=(1-s)B+sH =\left(\frac78,\frac{(1-s)\sqrt{15}}8\right) $$

である。

これより各距離の2乗は

$$ AP^2=\left(\frac78\right)^2+\left(\frac{(1-s)\sqrt{15}}8\right)^2 =\frac{49+15(1-s)^2}{64} $$

$$ BP^2=\left(s\cdot \frac{\sqrt{15}}8\right)^2 =\frac{15s^2}{64} $$

$$ CP^2=\left(\frac18\right)^2+\left(\frac{(1-s)\sqrt{15}}8\right)^2 =\frac{1+15(1-s)^2}{64} $$

したがって

$$ AP^2+BP^2+CP^2 =\frac{49+15(1-s)^2}{64} +\frac{15s^2}{64} +\frac{1+15(1-s)^2}{64} $$

$$ =\frac{50+30(1-s)^2+15s^2}{64} =\frac{80-60s+45s^2}{64} $$

となる。

これは $s$ の2次式であり、係数 $45>0$ なので下に凸である。したがって最小値は頂点でとる。

$$ s=\frac{60}{2\cdot 45}=\frac23 $$

このとき

$$ AP^2+BP^2+CP^2 =\frac{80-60\cdot \frac23+45\cdot \left(\frac23\right)^2}{64} =\frac{80-40+20}{64} =\frac{60}{64} =\frac{15}{16} $$

である。

解説

この問題の要点は、（2） で $P$ が辺 $BH$ 上を動くことに注目し、$AC$ を $x$ 軸に取ることで座標が極めて簡単になる点である。

特に、$B$ と $H$ の $x$ 座標が等しいため、$P$ の $x$ 座標も一定になり、$AP^2,CP^2,BP^2$ がすべて $s$ の2次式として整理できる。したがって、最後は2次関数の最小値の問題に帰着する。

答え

$$ \cos\theta=\frac78,\qquad \sin\theta=\frac{\sqrt{15}}8 $$

また、

$$ AP^2+BP^2+CP^2 $$

の最小値は

$$ \frac{15}{16} $$

であり、そのとき

$$ s=\frac23 $$

である。