東北大学 2013年 理系 第6問 解説

方針・初手

底面を $xy$ 平面、円柱の高さ方向を $z$ 軸にとる。底面の中心を原点 $O$ とし、直径 $AB$ を $x$ 軸上に置く。

すると円柱は

$$ x^2+y^2\leqq 1,\qquad 0\leqq z\leqq \frac{1}{\sqrt{2}} $$

で表される。

$AB$ を含み、底面と $45^\circ$ の角をなす平面は、$x$ 軸を含み $xy$ 平面となす角が $45^\circ$ であるから

$$ z=y $$

とおける。体積の小さい方の部分 $V$ は、この平面の下側で

$$ V=\left{(x,y,z),\middle|,x^2+y^2\leqq 1,\ 0\leqq z\leqq \frac{1}{\sqrt{2}},\ z\leqq y\right} $$

である。

あとは、$AB$ と直交する平面で切った断面を求め、その面積を積分すればよい。

解法1

$AB$ は $x$ 軸方向なので、これと直交し、$O$ からの距離が $t$ である平面として $x=t$ をとる。円柱は $x$ 軸について対称であるから、$x=t,\ x=-t$ のどちらでも断面積は同じである。

このとき

$$ x=t $$

で切った断面において、$y$ の動く範囲は

$$ -\sqrt{1-t^2}\leqq y\leqq \sqrt{1-t^2} $$

である。以下

$$ r=\sqrt{1-t^2} $$

とおく。

断面内では $0\leqq z\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $z\leqq y$ であるから、$z\geqq 0$ より自動的に $y\geqq 0$ となる。したがって、断面は

$$ 0\leqq y\leqq r,\qquad 0\leqq z\leqq \min\left(y,\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

で表される。

（i） $0\leqq t\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

このとき $r=\sqrt{1-t^2}\geqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、断面は $0\leqq y\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ では上端が $z=y$、 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq y\leqq r$ では上端が $z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となる。

よって断面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\int_0^{1/\sqrt{2}} y,dy+\int_{1/\sqrt{2}}^r \frac{1}{\sqrt{2}},dy $$

であり、

$$ \begin{aligned} S(t) &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(r-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &=\frac{1}{4}+\frac{r}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2} \\ &=\frac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4} \end{aligned} $$

となる。

（ii） $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq t\leqq 1$ のとき

このとき $r=\sqrt{1-t^2}\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、断面は上端がすべて $z=y$ で与えられる。したがって

$$ S(t)=\int_0^r y,dy=\frac{r^2}{2}=\frac{1-t^2}{2} $$

である。

以上より、

$$ S(t)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{2}}-\dfrac14 & \left(0\leqq t\leqq \dfrac1{\sqrt2}\right),\\[6pt] \dfrac{1-t^2}{2} & \left(\dfrac1{\sqrt2}\leqq t\leqq 1\right) \end{cases} $$

となる。

次に体積を求める。$x$ 軸について対称であるから

$$ \operatorname{Vol}(V)=2\int_0^1 S(t),dt $$

である。したがって

$$ \operatorname{Vol}(V) ===================== 2\int_0^{1/\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{2}}-\frac14\right)dt + 2\int_{1/\sqrt{2}}^1 \frac{1-t^2}{2},dt $$

となる。

前半は

$$ 2\int_0^{1/\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{2}}-\frac14\right)dt ======================================================================== \sqrt{2}\int_0^{1/\sqrt{2}}\sqrt{1-t^2},dt-\frac{1}{2\sqrt{2}} $$

である。ここで

$$ \int \sqrt{1-t^2},dt ==================== \frac12\left(t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t\right) $$

を用いると、

$$ \int_0^{1/\sqrt{2}}\sqrt{1-t^2},dt ================================== # \frac12\left(\frac12+\frac{\pi}{4}\right) \frac14+\frac{\pi}{8} $$

だから、

$$ \sqrt{2}\int_0^{1/\sqrt{2}}\sqrt{1-t^2},dt-\frac{1}{2\sqrt{2}} ============================================================== # \sqrt{2}\left(\frac14+\frac{\pi}{8}\right)-\frac{\sqrt{2}}{4} \frac{\sqrt{2}\pi}{8} $$

となる。

後半は

$$ 2\int_{1/\sqrt{2}}^1 \frac{1-t^2}{2},dt ======================================= \int_{1/\sqrt{2}}^1 (1-t^2),dt $$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_{1/\sqrt{2}}^1 (1-t^2),dt &=\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_{1/\sqrt{2}}^1 \\ &=\left(1-\frac13\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{6\sqrt{2}}\right) \\ &=\frac23-\frac{5}{6\sqrt{2}} \\ &=\frac23-\frac{5\sqrt{2}}{12} \end{aligned} $$

したがって

$$ \operatorname{Vol}(V) ===================== \frac{\sqrt{2}\pi}{8} +\frac23-\frac{5\sqrt{2}}{12} ============================= \frac{16+\sqrt{2}(3\pi-10)}{24} $$

である。

解説

この問題の要点は、切断する平面を座標で明確に表すことである。$AB$ を $x$ 軸にとれば、切断平面は $z=y$ と非常に簡単になる。

そのうえで、$x=t$ で切った断面を見ると、上端が

• $z=y$
• $z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

のどちらになるかで場合分けが生じる。境目は

$$ \sqrt{1-t^2}=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

すなわち

$$ t=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。

この場合分けさえ押さえれば、断面積も体積も素直に求まる。

答え

$$ S(t)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{2}}-\dfrac14 & \left(0\leqq t\leqq \dfrac1{\sqrt2}\right),\\[6pt] \dfrac{1-t^2}{2} & \left(\dfrac1{\sqrt2}\leqq t\leqq 1\right) \end{cases} $$

また、

$$ V=\frac{\sqrt{2}\pi}{8}+\frac23-\frac{5\sqrt{2}}{12} =\frac{16+\sqrt{2}(3\pi-10)}{24} $$

である。