東北大学 2016年 理系 第1問 解説

方針・初手

（1） では，垂線によってできる直角に注目し，対角の和が $180^\circ$ になることから円に内接することを示す。

（2） では，$\angle ADE$ と $\angle ADF$ を直接追うのではなく，それぞれを円周角に置き換える。$A,D,E,B$ と $A,D,F,C$ がそれぞれ円に内接することに注目するのが初手である。

解法1

(1) 四角形 $BCEF$ が円に内接すること

$E$ は $B$ から辺 $CA$ に下ろした垂線の足であるから，

$$ BE \perp AC $$

であり，$C,E,A$ は一直線上にある。したがって

$$ \angle BEC = 90^\circ $$

である。

同様に，$F$ は $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足であり，$A,F,B$ は一直線上にあるから

$$ CF \perp AB,\qquad \angle BFC = 90^\circ $$

となる。

よって

$$ \angle BEC + \angle BFC = 180^\circ $$

であるから，四角形 $BCEF$ は円に内接する。

(1) 四角形 $AFHE$ が円に内接すること

$H$ は垂心であるから，$H$ は $BE,CF,AD$ 上にある。

$E$ は $CA$ 上にあり，$H$ は $BE$ 上にあるので，

$$ AE \perp EH $$

すなわち

$$ \angle AEH = 90^\circ $$

である。

また，$F$ は $AB$ 上にあり，$H$ は $CF$ 上にあるので，

$$ AF \perp FH $$

すなわち

$$ \angle AFH = 90^\circ $$

である。

したがって

$$ \angle AEH + \angle AFH = 180^\circ $$

であり，四角形 $AFHE$ は円に内接する。

(2) $\angle ADE=\angle ADF$ を示す

$D$ は $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足であるから，

$$ AD \perp BC $$

であり，$B,D,C$ は一直線上にある。よって

$$ \angle ADB = 90^\circ,\qquad \angle ADC = 90^\circ $$

である。

また，$E$ は $B$ から辺 $CA$ に下ろした垂線の足であるから

$$ \angle AEB = 90^\circ $$

である。したがって，$\angle ADB=\angle AEB=90^\circ$ より，$A,D,E,B$ は同一円周上にある。

この円において，同じ弧 $AE$ に対する円周角は等しいから，

$$ \angle ADE = \angle ABE $$

である。

ここで $BE \perp AC$ であるから，

$$ \angle ABE = 90^\circ - \angle BAC $$

となる。したがって

$$ \angle ADE = 90^\circ - \angle BAC $$

を得る。

同様に，$F$ は $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足であるから

$$ \angle AFC = 90^\circ $$

であり，$\angle ADC=90^\circ$ と合わせて $A,D,F,C$ も同一円周上にある。

よって，同じ弧 $AF$ に対する円周角は等しいから，

$$ \angle ADF = \angle ACF $$

である。

さらに $CF \perp AB$ であるから，

$$ \angle ACF = 90^\circ - \angle CAB = 90^\circ - \angle BAC $$

となる。したがって

$$ \angle ADF = 90^\circ - \angle BAC $$

である。

以上より

$$ \angle ADE = \angle ADF $$

が示された。

解説

この問題の本質は，垂線がつくる直角を円に結びつけることである。

（1） では，$BCEF$ も $AFHE$ も対角がともに $90^\circ$ になるので，対角の和が $180^\circ$ で円に内接することがすぐ分かる。

（2） では，$\angle ADE$ と $\angle ADF$ をそのまま比較するより，それぞれを円周角に移すのが有効である。$A,D,E,B$ と $A,D,F,C$ がそれぞれ円に内接することに気づけば，

$$ \angle ADE=\angle ABE,\qquad \angle ADF=\angle ACF $$

となり，どちらも $90^\circ-\angle BAC$ に等しいことから結論が出る。

答え

四角形 $BCEF$，$AFHE$ はいずれも円に内接する。

また，

$$ \angle ADE = \angle ADF = 90^\circ - \angle BAC $$

である。