トップ› 九州大学› 2008年› 理系第5問

九州大学 2008年理系第5問解説

方針・初手

(1) 円の接線に関する問題であるから、円の中心と接点を結ぶ半径が接線と直交することを利用する。円 $Q$ と円 $R$ の中心を結ぶ線分、円 $Q$ の中心から引いた接線、円 $R$ の半径によって直角三角形を作ることで、$\frac{\theta}{2}$ の三角比を求める。

(2) (1) で求めた $\sin \theta$ の値と、$\sin \frac{\pi}{3}$ などの境界となる角度のサインの値を比較する。このとき、$\theta$ が鋭角か鈍角かを明確にする必要があるため、$\cos \theta$ の符号も調べておく。

(3) 互いに交わらない円の配置を考えるために、隣り合う円の中心間の距離の条件を求める。そこから、隣り合う円を円 $Q$ の中心から見込んだ角の最小値が $\theta$ であることを示し、中心角の和の条件に帰着させる。

解法1

(1)

円 $Q$ の中心を $O$、円 $R$ の中心を $O_R$ とする。円 $Q$ は半径 $2$、円 $R$ は半径 $3$ であり、互いに外接しているため、中心間の距離は

$$ OO_R = 2 + 3 = 5 $$

である。

円 $Q$ の中心 $O$ から円 $R$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とする。直線 $OO_R$ は $\angle T_1 O T_2 = \theta$ を $2$ 等分するので、$\angle T_1 O O_R = \frac{\theta}{2}$ である。

$\triangle OT_1O_R$ は $\angle OT_1O_R = \frac{\pi}{2}$ の直角三角形であるから、

$$ \sin \frac{\theta}{2} = \frac{O_R T_1}{OO_R} = \frac{3}{5} $$

となる。$0 < \theta < \pi$ より $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるから、

$$ \cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5} $$

よって、$2$ 倍角の公式により、

$$ \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} $$

(2)

(1) より、$\cos \theta$ の値を求めると

$$ \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{7}{25} $$

$\cos \theta > 0$ かつ $0 < \theta < \pi$ であるから、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

関数 $y = \sin x$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で単調増加する。ここで、$\sin \frac{\pi}{3}$ と $\sin \theta$ の大きさを比較する。

$$ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{50} = \frac{\sqrt{1875}}{50} $$

$$ \sin \theta = \frac{24}{25} = \frac{48}{50} = \frac{\sqrt{2304}}{50} $$

$\sqrt{1875} < \sqrt{2304}$ であるから、$\sin \frac{\pi}{3} < \sin \theta$ が成り立つ。

また、$\theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta < \sin \frac{\pi}{2}$ は自明である。したがって、

$$ \sin \frac{\pi}{3} < \sin \theta < \sin \frac{\pi}{2} $$

が成り立ち、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ における正弦関数の単調増加性より、

$$ \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2} $$

が示された。

(3)

円 $Q$ に外接する $2$ つの半径 $3$ の円 $R_1, R_2$ が互いに交わらないための条件を考える。円 $R_1, R_2$ の中心をそれぞれ $O_1, O_2$ とすると、交わらないためには中心間の距離について $O_1O_2 \ge 6$ が成り立つことが必要十分である。

$\triangle OO_1O_2$ において、余弦定理を適用する。$OO_1 = OO_2 = 5$ であるから、

$$ O_1O_2^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cos \angle O_1OO_2 = 50(1 - \cos \angle O_1OO_2) $$

$O_1O_2 \ge 6$ を満たすとき、

$$ 50(1 - \cos \angle O_1OO_2) \ge 36 $$

$$ \cos \angle O_1OO_2 \le \frac{7}{25} $$

(2) で求めたように $\cos \theta = \frac{7}{25}$ である。$0 < \angle O_1OO_2 \le \pi$ および $0 < \theta < \pi$ において余弦関数は単調減少であるから、

$$ \angle O_1OO_2 \ge \theta $$

が得られる。すなわち、互いに交わらない円を配置するとき、中心 $O$ から見た円同士のなす角は $\theta$ 以上でなければならない。

半径 $3$ の円が $n$ 個配置できるとすると、これらの円が重ならないためには、中心角の総和が $2\pi$ 以下でなければならない。したがって、

$$ n\theta \le 2\pi $$

が必要である。逆にこれを満たせば、角度 $\frac{2\pi}{n} (\ge \theta)$ ずつ均等に離して円を配置することで、条件を満たす配置が可能となる。

(2) より $\frac{\pi}{3} < \theta$ であるから、$6\theta > 2\pi$ となり、$n=6$ は不適である。

次に、$n=5$ の場合を調べる。$5\theta \le 2\pi$、すなわち $\theta \le \frac{2\pi}{5}$ が成り立つかを確認する。$\alpha = \frac{2\pi}{5}$ とおくと、$5\alpha = 2\pi$ より $3\alpha = 2\pi - 2\alpha$ である。両辺の余弦をとると、

$$ \cos 3\alpha = \cos(2\pi - 2\alpha) = \cos 2\alpha $$

$$ 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $$

$$ (\cos \alpha - 1)(4\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha - 1) = 0 $$

$\cos \alpha \neq 1$ かつ $\cos \alpha > 0$ であるから、$4\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha - 1 = 0$ を解いて、

$$ \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

これと $\cos \theta = \frac{7}{25}$ の大小を比較する。差をとると、

$$ \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{7}{25} = \frac{25\sqrt{5} - 25 - 28}{100} = \frac{25\sqrt{5} - 53}{100} $$

ここで、$(25\sqrt{5})^2 = 3125$、$53^2 = 2809$ であるから、$25\sqrt{5} > 53$ となり、

$$ \cos \frac{2\pi}{5} > \cos \theta $$

である。$0 < x < \pi$ において $\cos x$ は単調減少であるから、

$$ \theta > \frac{2\pi}{5} $$

となり、$5\theta > 2\pi$ となるため $n=5$ も不適である。

一方、(2) より $\theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、$4\theta < 2\pi$ は満たされる。したがって、$n=4$ であれば配置可能である。

解説

複数の円を他の円の周りに並べる「充填問題（パッキング）」の典型的な設定である。 (3)において、円同士が交わらない条件を中心角の条件（$\angle O_1OO_2 \ge \theta$）に読み替える論理が本質となる。角度を直接求めることができないため、$\cos \frac{2\pi}{5}$ などの有名角の三角比を利用して、不等式評価によって可能な個数を絞り込む手法が有効である。$\cos \frac{2\pi}{5}$ の値は、正五角形の性質や $5$ 倍角にまつわる方程式から導出できる知識として持っておくとよい。