トップ› 名古屋大学› 2003年› 理系第2問

名古屋大学 2003年理系第2問解説

方針・初手

点 $R$ の座標を変数を用いて表し、線分 $ST$ の長さをその変数の関数として立式する。円周上の点であるため、三角関数を用いたパラメータ表示（偏角 $\theta$）とするか、そのまま $x, y$ 座標を用いて $y$ の関数とするかの2つの方針が考えられる。図形の対称性から、点 $R$ が $y$ 軸の右側（$x \ge 0$）にある場合のみを考えれば十分である。

解法1

点 $R$ の位置を偏角 $\theta$ を用いて表す。図形の $y$ 軸対称性から、$R$ の $x$ 座標が $x \ge 0$ となる範囲で $ST$ の最大値を考えても一般性を失わない。 $R(\cos\theta, \sin\theta)$ とおくと、条件 $y > d$ より $d < \sin\theta \le 1$ である。

点 $S$ は直線 $OR$ と直線 $y=d$ の交点である。原点から $R$ に向かうベクトル $\vec{OR} = (\cos\theta, \sin\theta)$ を定数倍して $y$ 成分を $d$ にしたものが $\vec{OS}$ であるから、

$$ \vec{OS} = \frac{d}{\sin\theta} \vec{OR} = \left( \frac{d\cos\theta}{\sin\theta}, d \right) $$

よって、$S \left( \frac{d\cos\theta}{\sin\theta}, d \right)$ となる。また、点 $T$ は $R$ から直線 $y=d$ へ下ろした垂線の足であるから、$T(\cos\theta, d)$ である。線分 $ST$ は直線 $y=d$ 上にあるため、その長さは $x$ 座標の差の絶対値で表される。

$$ ST = \left| \cos\theta - \frac{d\cos\theta}{\sin\theta} \right| = |\cos\theta| \left| 1 - \frac{d}{\sin\theta} \right| $$

$x \ge 0$ より $\cos\theta \ge 0$ であり、また $\sin\theta > d$ より $1 - \frac{d}{\sin\theta} > 0$ であるから、絶対値記号をそのまま外すことができる。 $f(\theta) = \cos\theta \left( 1 - \frac{d}{\sin\theta} \right)$ とおき、これを $\theta$ について微分する。

$$ \begin{aligned} f'(\theta) &= (\cos\theta)' \left( 1 - \frac{d}{\sin\theta} \right) + \cos\theta \left( 1 - \frac{d}{\sin\theta} \right)' \\ &= -\sin\theta \left( 1 - \frac{d}{\sin\theta} \right) + \cos\theta \left( -d \cdot \frac{-\cos\theta}{\sin^2\theta} \right) \\ &= -\sin\theta + d + \frac{d\cos^2\theta}{\sin^2\theta} \\ &= -\sin\theta + d + \frac{d(1-\sin^2\theta)}{\sin^2\theta} \\ &= -\sin\theta + d + \frac{d}{\sin^2\theta} - d \\ &= \frac{d - \sin^3\theta}{\sin^2\theta} \end{aligned} $$

$f'(\theta) = 0$ となるのは $\sin^3\theta = d$、すなわち $\sin\theta = d^{\frac{1}{3}}$ のときである。 $0 < d < 1$ であるから $d < d^{\frac{1}{3}} < 1$ が成り立ち、考えている範囲に条件を満たす $\theta$ がただ1つ存在する。 $\sin\theta$ が $d$ から $d^{\frac{1}{3}}$ まで増加するとき、$d - \sin^3\theta > 0$ より $f'(\theta) > 0$ であり、$f(\theta)$ は単調増加する。 $\sin\theta$ が $d^{\frac{1}{3}}$ より大きいとき、$d - \sin^3\theta < 0$ より $f'(\theta) < 0$ であり、$f(\theta)$ は単調減少する。

したがって、$f(\theta)$ は $\sin\theta = d^{\frac{1}{3}}$ のとき最大値をとる。このとき、$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - d^{\frac{2}{3}}}$ であるから、求める最大値は

$$ \begin{aligned} ST &= \sqrt{1 - d^{\frac{2}{3}}} \left( 1 - \frac{d}{d^{\frac{1}{3}}} \right) \\ &= \sqrt{1 - d^{\frac{2}{3}}} \left( 1 - d^{\frac{2}{3}} \right) \\ &= \left( 1 - d^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

解法2

点 $R$ の座標を $(x, y)$ とおく。円周上の点であるから $x^2 + y^2 = 1$ であり、条件より $y > d$ である。解法1と同様に、図形の対称性から $x \ge 0$ の範囲で考えても一般性を失わない。このとき $x = \sqrt{1 - y^2}$ と表せる。

直線 $OR$ 上の点は実数 $k$ を用いて $(kx, ky)$ と表せる。点 $S$ はこの直線上で $y$ 座標が $d$ の点であるから、$ky = d$ より $k = \frac{d}{y}$ となる。したがって、点 $S$ の座標は $\left( \frac{dx}{y}, d \right)$ である。点 $T$ の座標は $(x, d)$ であるから、線分 $ST$ の長さは

$$ ST = \left| x - \frac{dx}{y} \right| = x \left( 1 - \frac{d}{y} \right) = \sqrt{1 - y^2} \left( 1 - \frac{d}{y} \right) $$

$ST \ge 0$ であるから、$ST$ が最大となるのは $ST^2$ が最大となるときである。 $g(y) = ST^2 = (1 - y^2) \left( 1 - \frac{d}{y} \right)^2$ とおく。 $g(y) = \left( \frac{1}{y^2} - 1 \right) (y - d)^2$ と変形し、$y$ について微分する。

$$ \begin{aligned} g'(y) &= \left( \frac{1}{y^2} - 1 \right)' (y - d)^2 + \left( \frac{1}{y^2} - 1 \right) \left( (y - d)^2 \right)' \\ &= -\frac{2}{y^3} (y - d)^2 + \left( \frac{1}{y^2} - 1 \right) \cdot 2(y - d) \\ &= 2(y - d) \left\{ -\frac{y - d}{y^3} + \frac{1 - y^2}{y^2} \right\} \\ &= \frac{2(y - d)}{y^3} \left\{ -(y - d) + y(1 - y^2) \right\} \\ &= \frac{2(y - d)}{y^3} (d - y^3) \end{aligned} $$

$y > d$ より $\frac{2(y - d)}{y^3} > 0$ であるため、$g'(y)$ の符号は $d - y^3$ の符号と一致する。 $g'(y) = 0$ となるのは $y = d^{\frac{1}{3}}$ のときであり、増減表を考えると、 $d < y < d^{\frac{1}{3}}$ のとき $g'(y) > 0$、 $d^{\frac{1}{3}} < y \le 1$ のとき $g'(y) < 0$ となる。

よって、$g(y)$ は $y = d^{\frac{1}{3}}$ のとき極大かつ最大となる。このときの $g(y)$ の値は

$$ g\left(d^{\frac{1}{3}}\right) = \left( 1 - d^{\frac{2}{3}} \right) \left( 1 - \frac{d}{d^{\frac{1}{3}}} \right)^2 = \left( 1 - d^{\frac{2}{3}} \right) \left( 1 - d^{\frac{2}{3}} \right)^2 = \left( 1 - d^{\frac{2}{3}} \right)^3 $$

$ST$ の最大値は $\sqrt{g\left(d^{\frac{1}{3}}\right)}$ であるから、求める値は $\left( 1 - d^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}$ である。

解説

座標平面上の線分の長さを最大化する問題である。動点 $R$ のパラメータ設定として、解法1のように偏角 $\theta$ を用いる方法と、解法2のように $y$ 座標をそのまま変数として用いる方法の2つが自然なアプローチである。いずれの解法においても、「図形の対称性に着目して絶対値記号を外すこと」と「微分計算における共通因数の括り出し」が計算を正確に完遂するための重要なポイントとなる。特に解法2では、無理関数の微分を避けるために $ST^2$ の最大値を考える工夫が有効である。