東北大学 2021年 理系 第4問 解説

方針・初手

直線 $l$ を

$$ y=x+b $$

とおく。曲線 $y=x^3-2x$ との交点の $x$ 座標を $p<q<r$ とすると，

$$ x^3-2x=x+b $$

より

$$ x^3-3x-b=0 $$

の 3 つの異なる実数解が $p,q,r$ である。

問題では $R=(a,a^3-2a)$ としているので，$r=a$ である。したがって，この三次方程式の解と係数の関係を用いるのが自然である。

解法1

（1） 点 $S$ の座標を求める。

三次方程式

$$ x^3-3x-b=0 $$

の 3 根が $p,q,a$ であるから，解と係数の関係より

$$ p+q+a=0 $$

である。したがって，

$$ p+q=-a $$

となる。

$S$ は線分 $PQ$ の中点なので，その $x$ 座標は

$$ \frac{p+q}{2}=-\frac a2 $$

である。

また，$R=(a,a^3-2a)$ は直線 $l:y=x+b$ 上にあるから，

$$ a^3-2a=a+b $$

より

$$ b=a^3-3a $$

である。よって $S$ は直線 $l$ 上にあるので，その $y$ 座標は

$$ -\frac a2+b=-\frac a2+a^3-3a=a^3-\frac72 a $$

となる。

したがって，

$$ S\left(-\frac a2,\ a^3-\frac72 a\right) $$

である。

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（2） 点 $S$ の軌跡を求める。

まず，$p,q$ は $p+q=-a$ を満たし，さらに

$$ pq+qa+ap=-3 $$

より

$$ pq-a^2=-3 \quad\Longrightarrow\quad pq=a^2-3 $$

である。したがって $p,q$ は二次方程式

$$ t^2+at+(a^2-3)=0 $$

の 2 解であるから，

$$ t=\frac{-a\pm\sqrt{12-3a^2}}{2} $$

となる。

異なる 3 点で交わるためには，この 2 解が異なる実数でなければならないから，

$$ 12-3a^2>0 $$

すなわち

$$ |a|<2 $$

である。

さらに $a$ は 3 根のうち最大のものなので，

$$ a>\frac{-a+\sqrt{12-3a^2}}{2} $$

でなければならない。これを整理すると $a>1$ を得る。よって

$$ 1<a<2 $$

である。

（1） で求めた $S$ の座標を用い，$x=-\dfrac a2$ とおくと $a=-2x$ だから，

$$ y=a^3-\frac72 a =(-2x)^3-\frac72(-2x) =-8x^3+7x $$

となる。また $1<a<2$ より

$$ -1<x<-\frac12 $$

である。

したがって，点 $S$ の軌跡は

$$ y=-8x^3+7x \qquad \left(-1<x<-\frac12\right) $$

である。

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（3） 線分 $PS$ が動いてできる領域の面積を求める。

ここで座標変換

$$ X=x,\qquad Y=y-x $$

を考える。これはせん断変換であり，面積を変えない。

このとき，直線 $l:y=x+b$ は

$$ Y=b $$

となり，水平線に移る。また曲線 $y=x^3-2x$ は

$$ Y=x^3-3x $$

すなわち

$$ Y=X^3-3X $$

に移る。

固定した $a\ (1<a<2)$ に対し，$l$ は

$$ Y=a^3-3a $$

という水平線になる。この水平線と曲線 $Y=X^3-3X$ の交点の $X$ 座標は $p,q,a$ であり，$S$ は $X=-\dfrac a2$ に対応するから，線分 $PS$ は $XY$ 平面では

$$ Y=a^3-3a,\qquad p\le X\le -\frac a2 $$

という水平線分になる。

したがって，その長さは

$$ -\frac a2-p $$

である。ここで

$$ p=\frac{-a-\sqrt{12-3a^2}}{2} $$

より，

$$ -\frac a2-p =\frac12\sqrt{12-3a^2} $$

となる。

また

$$ Y=a^3-3a $$

であり，$1<a<2$ では

$$ \frac{dY}{da}=3a^2-3=3(a^2-1)>0 $$

だから，$a$ の増加に応じてこれらの水平線分は重ならずに積み重なる。よって面積 $A$ は

$$ A=\int_{1}^{2}\left(\frac12\sqrt{12-3a^2}\right)\frac{dY}{da},da $$

すなわち

$$ A=\int_{1}^{2}\frac32(a^2-1)\sqrt{12-3a^2},da $$

である。

ここで

$$ \frac{d}{da}\left{-\frac{3\sqrt3}{8},a(4-a^2)^{3/2}\right} ========================================================== \frac32(a^2-1)\sqrt{12-3a^2} $$

だから，

$$ A= \left[ -\frac{3\sqrt3}{8},a(4-a^2)^{3/2} \right]_{1}^{2} $$

となる。これを計算すると，

$$ A =0-\left(-\frac{3\sqrt3}{8}\cdot 1\cdot 3\sqrt3\right) =\frac{27}{8} $$

である。

解説

交点の $x$ 座標は三次方程式 $x^3-3x-b=0$ の解であるから，まず解と係数の関係を見るのが基本である。これにより $p+q=-a$ が直ちに出るので，中点 $S$ の $x$ 座標はすぐ求まる。

（2） では，$a$ を媒介変数として $S$ を表し，最後に $a$ を消去すればよい。ただし，$a$ の範囲を正確に出さないと軌跡の区間を誤るので注意が必要である。

（3） は，線分 $PS$ がすべて傾き $1$ をもつことに着目し，$Y=y-x$ という変換で水平線分に直すと面積計算が一気に整理される。平行な線分群で領域ができるときには，このようなせん断変換が有効である。

答え

$$ \text{（1）}\quad S\left(-\frac a2,\ a^3-\frac72 a\right) $$

$$ \text{（2）}\quad y=-8x^3+7x \qquad \left(-1<x<-\frac12\right) $$

$$ \text{（3）}\quad \text{面積 }=\frac{27}{8} $$