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東北大学 2021年理系第2問解説

方針・初手

面積比はアフィン変換で不変であるから，三角形 $ABC$ の形を一般のまま扱う必要はない。そこで

$$ A(0,0),\quad B(1,0),\quad C(0,1) $$

とおいて計算する。このとき三角形 $ABC$ の面積は

$$ S=\frac12 $$

である。

点 $P,Q,R$ の座標を求め，三角形 $PQR$ の面積を行列式で表せばよい。

解法1

点 $P$ は辺 $AB$ を $a:1-a$ に内分するから

$$ P=(a,0) $$

である。

点 $Q$ は辺 $BC$ を $b:1-b$ に内分するから

$$ Q=(1-b,b) $$

である。

また，$R$ は辺 $CA$ の中点であるから

$$ R=\left(0,\frac12\right) $$

である。

(1)

$ \dfrac{T}{S}$ を $a,b$ で表す。

三角形 $PQR$ の面積 $T$ は

$$ T=\frac12\left|\det \begin{pmatrix} 1-a-b & -a\ b & \frac12 \end{pmatrix} \right| $$

である。ここで

$$ \det \begin{pmatrix} 1-a-b & -a\ b & \frac12 \end{pmatrix} =\frac{1-a-b}{2}+ab =\frac{1-a-b+2ab}{2} $$

より，

$$ T=\frac12\cdot \frac{1-a-b+2ab}{2} =\frac{1-a-b+2ab}{4} $$

となる。したがって

$$ \frac{T}{S} =\frac{\frac{1-a-b+2ab}{4}}{\frac12} =\frac{1-a-b+2ab}{2}. $$

(2)

$0<a<\dfrac12,\ 0<b<\dfrac12$ のとき，$ \dfrac{T}{S}$ の範囲を求める。

（1）の結果を変形すると

$$ \frac{T}{S} =\frac{1-a-b+2ab}{2} =\frac14+\left(\frac12-a\right)\left(\frac12-b\right) $$

である。

ここで

$$ 0<a<\frac12,\quad 0<b<\frac12 $$

より

$$ 0<\frac12-a<\frac12,\quad 0<\frac12-b<\frac12 $$

であるから，

$$ 0<\left(\frac12-a\right)\left(\frac12-b\right)<\frac14 $$

となる。よって

$$ \frac14<\frac{T}{S}<\frac12 $$

である。

(3)

$a=\dfrac1p,\ b=\dfrac1q$ とし，$ \dfrac{S}{T}$ が整数となるような $(p,q)$ を求める。

（1）の式に代入すると

$$ \frac{T}{S} =\frac{1-\frac1p-\frac1q+\frac{2}{pq}}{2} =\frac{pq-p-q+2}{2pq} $$

であるから，

$$ \frac{S}{T} =\frac{2pq}{pq-p-q+2} $$

となる。

ここで

$$ d=pq-p-q+2 $$

とおくと，$d$ は $2pq$ を割る。また

$$ 2pq-2d=2p+2q-4 $$

であるから，$d$ は $2p+2q-4$ も割る。

まず $p=3$ の場合を考える。このとき

$$ d=2q-1 $$

であり，しかも $d\mid (2q+2)$ である。したがって

$$ d\mid \bigl((2q+2)-(2q-1)\bigr)=3 $$

となるが，$q\ge3$ だから $d=2q-1\ge5$ であり不可能である。よって $p\ne3$ である。同様に $q\ne3$ である。

したがって

$$ p\ge4,\quad q\ge4 $$

である。このとき $d$ は正の整数 $2p+2q-4$ を割るので

$$ d\le 2p+2q-4 $$

が必要である。すなわち

$$ pq-p-q+2\le 2p+2q-4 $$

であり，整理すると

$$ pq-3p-3q+6\le0 $$

さらに

$$ (p-3)(q-3)\le3 $$

を得る。

ここで対称性より $p\le q$ としてよい。すると候補は

$$ (4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,5),(5,6) $$

のみである。これらについて

$$ \frac{S}{T}=\frac{2pq}{pq-p-q+2} $$

を調べると，

$$ \begin{aligned} (4,4)&:\ \frac{S}{T}=\frac{32}{10}=\frac{16}{5},\\ (4,5)&:\ \frac{S}{T}=\frac{40}{14}=\frac{20}{7},\\ (4,6)&:\ \frac{S}{T}=\frac{48}{16}=3,\\ (4,7)&:\ \frac{S}{T}=\frac{56}{19},\\ (5,5)&:\ \frac{S}{T}=\frac{50}{17},\\ (5,6)&:\ \frac{S}{T}=\frac{60}{21}=\frac{20}{7} \end{aligned} $$

となる。整数になるのは $(4,6)$ のみである。対称性より $(6,4)$ も解である。

したがって求める組は

$$ (p,q)=(4,6),\ (6,4) $$

である。