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東京工業大学 1968年理系第5問解説

方針・初手

与えられた極限の式に $n$ 乗根が含まれており、根号の中身である順列 $_{2n}P_n$ は $n$ 個の因数の積で表される。このような積の形をした数列の極限を求める場合、自然対数をとって和の形に変換し、区分求積法を利用するのが定石である。

解法1

求める極限値を $I$ とし、極限をとる前の数列を $a_n$ とおく。

$$ a_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{_{2n}P_n} $$

ここで、順列 $_{2n}P_n$ を階乗を用いて表すと、

$$ _{2n}P_n = \frac{(2n)!}{(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n!} = (n+1)(n+2)\cdots(2n) $$

となる。これより $a_n$ は次のように変形できる。

$$ a_n = \frac{1}{n} \left\{ (n+1)(n+2)\cdots(2n) \right\}^{\frac{1}{n}} $$

$\frac{1}{n} = \left( \frac{1}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}}$ であるから、これを $n$ 乗根の中に入れると、

$$ a_n = \left\{ \frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}{n^n} \right\}^{\frac{1}{n}} $$

根号の中身について、分子の $n$ 個の因数それぞれを $n$ で割ることで、次のように整理できる。

$$ a_n = \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1 + \frac{n}{n} \right) \right\}^{\frac{1}{n}} $$

ここで、両辺の自然対数をとる。

$$ \log a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 1 + \frac{k}{n} \right) $$

$n \to \infty$ としたときの極限を考えると、右辺は区分求積法によって定積分に書き換えられる。

$$ \lim_{n \to \infty} \log a_n = \int_0^1 \log(1+x) dx $$

この定積分を部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \log(1+x) dx &= \int_0^1 (1+x)' \log(1+x) dx \\ &= \left[ (1+x)\log(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} dx \\ &= 2\log 2 - \int_0^1 1 dx \\ &= \log 4 - \left[ x \right]_0^1 \\ &= \log 4 - 1 \end{aligned} $$

$1 = \log e$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \log a_n = \log 4 - \log e = \log \frac{4}{e} $$

対数関数 $y = \log x$ は連続関数であるため、

$$ \lim_{n \to \infty} \log a_n = \log \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right) $$

が成り立つ。したがって、

$$ \log \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right) = \log \frac{4}{e} $$

ゆえに、

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{4}{e} $$

解説

数列の極限において、「積の形」や「$n$ 乗根」が現れたときの標準的な解法を問う問題である。そのまま極限を計算することは困難だが、対数をとることで「積を和に変換」でき、さらに $\frac{1}{n}$ が前に出ることで、区分求積法の形 $\frac{1}{n} \sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ が自然と現れるようになっている。

また、積分計算における $\int \log(1+x) dx$ は、$(1+x)'$ が隠れていると見て部分積分を行うと計算がスムーズに進む。積分計算の典型的な処理も同時に確認できる良問である。