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東京工業大学 1968年理系第6問解説

方針・初手

3つの関数 $x$, $\sin x$, $\cos x$ のうち、積分区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ において $x > \sin x$ であることに着目し、候補となる関数の積 $f(x)$ を絞り込む。$x$ を含む関数は、それを $\sin x$ に置き換えた関数よりも積分値が大きくなることを示し、計算すべき積分の候補を減らすのが有効である。

解法1

$f(x) = x^a (\sin x)^b (\cos x)^c$ （$a, b, c$ は非負整数で $a+b+c=4$）とおく。

まず、$x > 0$ において $x > \sin x$ であることを示す。

$u(x) = x - \sin x$ とおくと、$u'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ であり、$u(x)$ は単調増加する。

$u(0) = 0$ より、$x > 0$ において $u(x) > 0$、すなわち $x > \sin x$ が成り立つ。

$a \ge 1$ のとき、すなわち $f(x)$ が因数 $x$ を少なくとも1つ含む場合を考える。

$f(x)$ の因数である $x$ を1つ $\sin x$ に置き換えた関数を $g(x)$ とすると、次のように表せる。

$$ g(x) = x^{a-1} (\sin x)^{b+1} (\cos x)^c $$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$x > \sin x > 0$ かつ $x^{a-1} (\sin x)^b (\cos x)^c > 0$ であるから、次が成り立つ。

$$ x^a (\sin x)^b (\cos x)^c > x^{a-1} (\sin x)^{b+1} (\cos x)^c $$

すなわち、区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ において $f(x) > g(x)$ である。

両辺を区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ で定積分すると、被積分関数は連続であり、積分区間の内部で恒等的に等しくはならないため、以下の不等式が成り立つ。

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx > \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx $$

$g(x)$ も問題の条件を満たす4つの関数の積であるから、積分値が最小となる $f(x)$ は因数 $x$ を持たない（すなわち $a=0$ である）。

したがって、最小値を与える関数 $f(x)$ の候補は、$\sin x$ と $\cos x$ のみからなる以下の5つに絞られる。

(i) $f(x) = \sin^4 x$

(ii) $f(x) = \sin^3 x \cos x$

(iii) $f(x) = \sin^2 x \cos^2 x$

(iv) $f(x) = \sin x \cos^3 x$

(v) $f(x) = \cos^4 x$

それぞれの定積分を求める。

(i) の場合

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 dx \\ &= \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x \right) dx \\ &= \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{3}{2}x - \sin 2x + \frac{1}{8}\sin 4x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{3\pi}{16} \end{aligned} $$

(ii) の場合

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \cos x dx = \left[ \frac{1}{4}\sin^4 x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} $$

(iii) の場合

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4}\sin^2 2x dx \\ &= \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 4x}{2} dx \\ &= \frac{1}{8} \left[ x - \frac{1}{4}\sin 4x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\pi}{16} \end{aligned} $$

(iv) の場合

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^3 x dx = \left[ -\frac{1}{4}\cos^4 x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} $$

(v) の場合

$x = \frac{\pi}{2} - t$ と置換すると $dx = -dt$ であり、積分の範囲は $\frac{\pi}{2} \to 0$ となる。

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin^4 t (-dt) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t dt = \frac{3\pi}{16} $$

得られた積分値は $\frac{3\pi}{16}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{\pi}{16}$ である。

$3 < \pi < 4$ であるから、以下の大小関係が成り立つ。

$$ \frac{\pi}{16} < \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$

$$ \frac{1}{4} = \frac{4}{16} < \frac{9}{16} < \frac{3\pi}{16} $$

これらより、$\frac{\pi}{16} < \frac{1}{4} < \frac{3\pi}{16}$ となる。

したがって、定積分のうちで最小なものは $\frac{\pi}{16}$ である。