東京工業大学 1988年 理系 第1問 解説

方針・初手

漸化式の形から、すべての項が正であることはすぐにわかる。そこから $a_n = 1 + (\text{正の値})$ となるため、$n \to \infty$ としたときの極限値は $1$ になることが予想される。

この推測を証明するためには、はさみうちの原理を用いるのが定石である。下からの評価は $a_n \ge 1$ で容易にできるが、上からの評価のために数列 $\{a_n\}$ が上に有界である（ある定数 $M$ を超えない）ことを数学的帰納法で示す必要がある。

解法1

与えられた漸化式は以下の通りである。

$$ a_1 = 1, \quad a_n = 1 + \frac{1}{n^2} a_{n-1}^2 \quad (n = 2, 3, 4, \dots) $$

すべての自然数 $n$ に対して、$a_n > 0$ であることは明らかである。 したがって、$n \ge 2$ において、$\frac{1}{n^2} a_{n-1}^2 > 0$ が成り立つため、以下が言える。

$$ a_n = 1 + \frac{1}{n^2} a_{n-1}^2 > 1 $$

$a_1 = 1$ であることと合わせると、すべての自然数 $n$ について $a_n \ge 1$ が成り立つ。

次に、すべての自然数 $n$ について $a_n < 2$ が成り立つことを数学的帰納法によって示す。

(i)

$n = 1$ のとき $a_1 = 1 < 2$ であり、成り立つ。

(ii)

$n = k \ (k \ge 1)$ のとき $a_k < 2$ が成り立つと仮定する。このとき、$n = k+1$ について漸化式を用いると、

$$ a_{k+1} = 1 + \frac{1}{(k+1)^2} a_k^2 $$

帰納法の仮定 $a_k < 2$ より $a_k^2 < 4$ であるから、次のように評価できる。

$$ a_{k+1} < 1 + \frac{4}{(k+1)^2} $$

ここで、$k \ge 1$ より $k+1 \ge 2$ であるから、$(k+1)^2 \ge 4$ となり、$\frac{4}{(k+1)^2} \le 1$ が成り立つ。したがって、

$$ a_{k+1} < 1 + 1 = 2 $$

となり、$n = k+1$ のときも成り立つ。

（i）, （ii） より、すべての自然数 $n$ に対して $a_n < 2$ が成り立つ。

以上の結果より、$n \ge 2$ のとき、漸化式と $a_{n-1} < 2$ を用いると次の不等式が得られる。

$$ 1 < a_n = 1 + \frac{1}{n^2} a_{n-1}^2 < 1 + \frac{4}{n^2} $$

これは $n=1$ のとき、すなわち $a_1 = 1 < 1 + \frac{4}{1^2} = 5$ についても矛盾しないため、すべての自然数 $n$ に対して、

$$ 1 \le a_n < 1 + \frac{4}{n^2} $$

が成り立つ。ここで、

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{4}{n^2}\right) = 1 $$

であるから、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = 1 $$

解説

極限が直接計算できない非線形の漸化式では、「極限値を予想し、はさみうちの原理に持ち込む」というアプローチが極めて有効である。

本問で上界として $2$ を設定したのは天下り的に見えるかもしれないが、これは以下のように逆算して見つけることができる。 ある定数 $M$ に対して $a_n < M$ と仮定したとき、$a_{n+1} = 1 + \frac{a_n^2}{(n+1)^2} < 1 + \frac{M^2}{(n+1)^2}$ となる。帰納法を回すためには、すべての $n \ge 1$ で $1 + \frac{M^2}{(n+1)^2} \le M$ となってほしいわけである。 最も厳しい条件となる $n=1$ のときを考えると、$1 + \frac{M^2}{4} \le M$ となる。これを整理すると $M^2 - 4M + 4 \le 0$、すなわち $(M-2)^2 \le 0$ となり、$M=2$ がちょうど適合することがわかる。

答え

$$ 1 $$