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東京工業大学 1988年理系第2問解説

方針・初手

2次関数の決定には3つの条件が必要であることから、$f(x)$ の係数 $a, b, c$ を、定義域内のいくつかの特定の $x$ に対する関数値を用いて表すことを考える。特に代入計算が容易な $x=1, -1, 0$ に着目し、$f(1), f(-1), f(0)$ を用いて目的の $f'(1)$ を表現し、絶対値の性質（三角不等式）を用いて評価する。

解法1

(1)

$f(x) = ax^2 + bx + c$ に対して、$x = 1, -1, 0$ を代入すると以下のようになる。

$$ \begin{cases} f(1) = a + b + c \\ f(-1) = a - b + c \\ f(0) = c \end{cases} $$

これらを $a, b, c$ について解く。第1式と第2式の和をとると、

$$ f(1) + f(-1) = 2a + 2c $$

$c = f(0)$ を代入して $a$ について解くと、

$$ a = \frac{f(1) + f(-1) - 2f(0)}{2} $$

第1式と第2式の差をとると、

$$ f(1) - f(-1) = 2b $$

$$ b = \frac{f(1) - f(-1)}{2} $$

また、$f(x)$ の導関数は $f'(x) = 2ax + b$ であるから、

$$ f'(1) = 2a + b $$

ここに求めた $a, b$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} f'(1) &= 2 \cdot \frac{f(1) + f(-1) - 2f(0)}{2} + \frac{f(1) - f(-1)}{2} \\ &= f(1) + f(-1) - 2f(0) + \frac{1}{2}f(1) - \frac{1}{2}f(-1) \\ &= \frac{3}{2}f(1) + \frac{1}{2}f(-1) - 2f(0) \end{aligned} $$

問題の条件より、$|x| \leqq 1$ で $|f(x)| \leqq 1$ であるから、

$$ |f(1)| \leqq 1, \quad |f(-1)| \leqq 1, \quad |f(0)| \leqq 1 $$

が成り立つ。三角不等式 $|X + Y| \leqq |X| + |Y|$ を用いると、

$$ \begin{aligned} |f'(1)| &= \left| \frac{3}{2}f(1) + \frac{1}{2}f(-1) - 2f(0) \right| \\ &\leqq \left| \frac{3}{2}f(1) \right| + \left| \frac{1}{2}f(-1) \right| + \left| -2f(0) \right| \\ &= \frac{3}{2}|f(1)| + \frac{1}{2}|f(-1)| + 2|f(0)| \\ &\leqq \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot 1 \\ &= 4 \end{aligned} $$

よって、$|f'(1)| \leqq 4$ が示された。

(2)

$|f'(1)| = 4$ となるのは、$f'(1) = 4$ または $f'(1) = -4$ のときである。

(i)

$f'(1) = 4$ のとき

(1)の評価式を用いると、

$$ \frac{3}{2}f(1) + \frac{1}{2}f(-1) - 2f(0) \leqq \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 4 $$

であるから、$f'(1) = 4$ となるためには、各項がそれぞれの最大値をとる必要があり、

$$ f(1) = 1, \quad f(-1) = 1, \quad f(0) = -1 $$

でなければならない。このとき、(1)で求めた $a, b, c$ の式に代入すると、

$$ a = \frac{1 + 1 - 2(-1)}{2} = 2 $$

$$ b = \frac{1 - 1}{2} = 0 $$

$$ c = -1 $$

したがって、$f(x) = 2x^2 - 1$ となる。このとき、$-1 \leqq x \leqq 1$ において $0 \leqq x^2 \leqq 1$ であるから、$-1 \leqq 2x^2 - 1 \leqq 1$ となり、条件「$|x| \leqq 1$ で $|f(x)| \leqq 1$」を満たす。

(ii)

$f'(1) = -4$ のとき

同様に、

$$ \frac{3}{2}f(1) + \frac{1}{2}f(-1) - 2f(0) \geqq \frac{3}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -4 $$

であるから、$f'(1) = -4$ となるためには、各項がそれぞれの最小値をとる必要があり、

$$ f(1) = -1, \quad f(-1) = -1, \quad f(0) = 1 $$

でなければならない。このとき、(1)で求めた式に代入すると、

$$ a = \frac{-1 - 1 - 2 \cdot 1}{2} = -2 $$

$$ b = \frac{-1 - (-1)}{2} = 0 $$

$$ c = 1 $$

したがって、$f(x) = -2x^2 + 1$ となる。このとき、$-1 \leqq x \leqq 1$ において $0 \leqq x^2 \leqq 1$ であるから、$-2 \leqq -2x^2 \leqq 0$ より $-1 \leqq -2x^2 + 1 \leqq 1$ となり、条件「$|x| \leqq 1$ で $|f(x)| \leqq 1$」を満たす。

（i）, （ii）より、求める関数は $f(x) = 2x^2 - 1, -2x^2 + 1$ である。

解説

「任意の $x$ で条件を満たす」という問題において、特定の $x$ を代入して必要条件から係数を絞り込む手法は頻出かつ極めて重要である。本問のように2次関数の係数を評価する場合は、独立な3点（定石としては計算が容易な $x=1, 0, -1$ ）を用いて係数を関数値で表現し直すと見通しが良くなる。

(2)では、不等式の等号成立条件から関数を一つに定めることができる。ただし、これはあくまで「導関数の絶対値が4になるための必要条件」を求めたに過ぎないため、得られた関数が元の条件「$|x| \leqq 1$ で $|f(x)| \leqq 1$」を満たすかどうかの十分性の確認（逆の確認）を必ず記述する必要がある。