北海道大学 2010年 理系 第3問 解説

方針・初手

• (1)は与えられた漸化式に直接 $n=1, 2$ を代入し、半角の公式を利用して根号を外す。
• (2)は(1)の結果から推測される式を数学的帰納法を用いて証明する。その際、根号を外すために(1)と同様の計算を行う。
• (3)は(2)で得られた関係式を用いて数列 $b_n$ の一般項を求める。余弦の積を計算する際、倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を利用して変形する典型的な手法を用いる。

解法1

(1)

与えられた漸化式に $n=1$ を代入すると、

$$a_1 = \frac{a_0+b_0}{2} = \frac{r\cos\theta+r}{2} = \frac{r(1+\cos\theta)}{2} = r\cos^2\frac{\theta}{2}$$

$$b_1 = \sqrt{a_1b_0} = \sqrt{r\cos^2\frac{\theta}{2} \cdot r} = \sqrt{r^2\cos^2\frac{\theta}{2}}$$

条件 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $-\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{4}$ であるから、$\cos\frac{\theta}{2} > 0$ である。 また、$r>0$ であるから、

$$b_1 = r\cos\frac{\theta}{2}$$

したがって、

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{r\cos^2\frac{\theta}{2}}{r\cos\frac{\theta}{2}} = \cos\frac{\theta}{2}$$

次に、$n=2$ を代入すると、

$$a_2 = \frac{a_1+b_1}{2} = \frac{r\cos^2\frac{\theta}{2}+r\cos\frac{\theta}{2}}{2} = r\cos\frac{\theta}{2} \cdot \frac{\cos\frac{\theta}{2}+1}{2} = r\cos\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{4}$$

$$b_2 = \sqrt{a_2b_1} = \sqrt{r\cos\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{4} \cdot r\cos\frac{\theta}{2}} = \sqrt{r^2\cos^2\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{4}}$$

$-\frac{\pi}{8} < \frac{\theta}{4} < \frac{\pi}{8}$ より $\cos\frac{\theta}{4} > 0$ であるから、

$$b_2 = r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{4}$$

したがって、

$$\frac{a_2}{b_2} = \frac{r\cos\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{4}}{r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{4}} = \cos\frac{\theta}{4}$$

(2)

(1)の結果より、$\frac{a_n}{b_n} = \cos\frac{\theta}{2^n}$ と推測される。これを数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき、(1)より成立する。

(ii) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき、$\frac{a_k}{b_k} = \cos\frac{\theta}{2^k}$ と仮定する。

$a_0 = r\cos\theta > 0$, $b_0 = r > 0$ と漸化式から、帰納的にすべての $n$ に対して $a_n > 0$, $b_n > 0$ である。 $n=k+1$ のとき、

$$\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} = \frac{a_{k+1}}{\sqrt{a_{k+1}b_k}} = \sqrt{\frac{a_{k+1}}{b_k}} = \sqrt{\frac{a_k+b_k}{2b_k}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{a_k}{b_k}+1\right)}$$

帰納法の仮定を用いると、

$$\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} = \sqrt{\frac{1+\cos\frac{\theta}{2^k}}{2}} = \sqrt{\cos^2\frac{\theta}{2^{k+1}}}$$

ここで、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $-\frac{\pi}{2^{k+2}} < \frac{\theta}{2^{k+1}} < \frac{\pi}{2^{k+2}}$ であるから、$\cos\frac{\theta}{2^{k+1}} > 0$ である。 よって、

$$\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} = \cos\frac{\theta}{2^{k+1}}$$

となり、$n=k+1$ のときも成立する。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について次が成り立つ。

$$\frac{a_n}{b_n} = \cos\frac{\theta}{2^n}$$

(3)

(2)の証明過程より、$b_n = \sqrt{a_n b_{n-1}}$ の両辺を正の値である $b_{n-1}$ で割ると、

$$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \sqrt{\frac{a_n}{b_{n-1}}}$$

また、(2)の途中式より、

$$\frac{a_n}{b_n} = \sqrt{\frac{a_n}{b_{n-1}}}$$

であるから、

$$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{a_n}{b_n}$$

が成り立つ。これに(2)の結果を代入すると、

$$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \cos\frac{\theta}{2^n}$$

よって、$n \geqq 1$ のとき、

$$b_n = b_0 \prod_{k=1}^n \frac{b_k}{b_{k-1}} = r \cos\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2^2} \cdots \cos\frac{\theta}{2^n}$$

ここで、正弦の倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ より、$\cos x = \frac{\sin 2x}{2\sin x}$ である。$\theta \neq 0$ のとき $\sin\frac{\theta}{2^k} \neq 0$ であるから、

$$b_n = r \cdot \frac{\sin\theta}{2\sin\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2^2}} \cdots \frac{\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}}{2\sin\frac{\theta}{2^n}} = r \frac{\sin\theta}{2^n \sin\frac{\theta}{2^n}}$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} r \frac{\sin\theta}{2^n \sin\frac{\theta}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} r \frac{\sin\theta}{\theta} \cdot \frac{\frac{\theta}{2^n}}{\sin\frac{\theta}{2^n}}$$

$t = \frac{\theta}{2^n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $t \to 0$ であるから、$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$ となる。 よって、

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin\theta}{\theta} \cdot 1 = \frac{r\sin\theta}{\theta}$$

また、(2)より $a_n = b_n \cos\frac{\theta}{2^n}$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n \cos\frac{\theta}{2^n} = \frac{r\sin\theta}{\theta} \cdot \cos 0 = \frac{r\sin\theta}{\theta}$$

以上より、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin\theta}{\theta}$ が示された。

解説

• (1)と(2)では、半角の公式 $\frac{1+\cos\theta}{2} = \cos^2\frac{\theta}{2}$ を用いて累乗根を外す計算が中心となる。その際、常に $\cos\frac{\theta}{2^n} > 0$ であることの確認を記述することが論理的な欠陥を防ぐ上で重要である。
• (3)の $\cos\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2^2} \cdots \cos\frac{\theta}{2^n}$ の形は、正弦の倍角公式を連続して用いることで簡約化できる有名事項である。分母分子に $\sin\frac{\theta}{2^n}$ を掛けて連鎖的に変形していく手法は、極限の計算で頻出のテクニックであるため確実に習得しておきたい。
• 極限の計算では、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の基本形を作り出すために適切に文字を置き換えることがポイントとなる。

答え

(1) $\frac{a_1}{b_1} = \cos\frac{\theta}{2}$, $\frac{a_2}{b_2} = \cos\frac{\theta}{4}$

(2) $\frac{a_n}{b_n} = \cos\frac{\theta}{2^n}$

(3) $\theta \neq 0$ のとき $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin\theta}{\theta}$ であることを示した。