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東京工業大学 1995年理系第1問解説

方針・初手

$a(n)$ は分母が階乗、分子が $n$ の3次式であるため、$n$ が大きくなると急速に $0$ に近づく数列である。この性質を利用し、（2）や（3）では $a(n)$ やその積が整数となる $n$ の上限を絞り込むことがポイントとなる。（3）については、積が整数にならないことを厳密に示すために、有理数に含まれる素因数 $2$ の個数（指数）に注目して評価を行う。

解法1

(1)

$n \ge 4$ のとき、$a(n)$ は次のように変形できる。

$$ 0 < a(n) = \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n(n-1)(n-2)} \cdot \frac{1}{(n-3)!} $$

ここで、第1因数の極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n(n-1)(n-2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{3}{n}\right)\left(1+\frac{4}{n}\right)}{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)} = 1 $$

であり、第2因数の極限は $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n-3)!} = 0$ である。

したがって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} a(n) = 1 \cdot 0 = 0 $$

(2)

$n \ge 1$ において、隣接項の比をとると、

$$ \frac{a(n+1)}{a(n)} = \frac{(n+3)(n+4)(n+5)}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(n+2)(n+3)(n+4)} = \frac{n+5}{(n+1)(n+2)} $$

となる。

ここで分母と分子の差をとると、

$$ (n+1)(n+2) - (n+5) = n^2 + 3n + 2 - n - 5 = n^2 + 2n - 3 = (n-1)(n+3) $$

$n \ge 2$ のとき $(n-1)(n+3) > 0$ であるから、$(n+1)(n+2) > n+5$ となり、

$$ \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1 $$

が成り立つ。すなわち、$n \ge 2$ において数列 $a(n)$ は単調に減少する。

実際に $a(n)$ の値を順に計算すると、

$$ a(1) = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{1} = 60 $$

$$ a(2) = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{2} = 60 $$

$$ a(3) = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{6} = 35 $$

$$ a(4) = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{24} = 14 $$

$$ a(5) = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{120} = \frac{21}{5} $$

$$ a(6) = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{720} = 1 $$

となる。

$a(n)$ は $n \ge 2$ で単調減少であるから、$n \ge 7$ においては $0 < a(n) < a(6) = 1$ となり、$a(n)$ は整数にはなり得ない。

したがって、$a(n)$ が整数となる $n$ は、$a(5)$ が整数でないことを考慮し、$n=1, 2, 3, 4, 6$ である。

(3)

積を $P_n = a(1)a(2)\cdots a(n)$ とおく。

（2）の結果を用いて順に計算すると、

$$ P_1 = 60 $$

$$ P_2 = 60 \cdot 60 = 3600 $$

$$ P_3 = 3600 \cdot 35 = 126000 $$

$$ P_4 = 126000 \cdot 14 = 1764000 $$

$$ P_5 = 1764000 \cdot \frac{21}{5} = 7408800 $$

$$ P_6 = 7408800 \cdot 1 = 7408800 $$

$$ P_7 = 7408800 \cdot \frac{9 \cdot 10 \cdot 11}{5040} = 7408800 \cdot \frac{11}{56} = 1455300 $$

となり、$n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ のとき $P_n$ はすべて整数である。

次に、$n \ge 8$ において $P_n$ が整数にならないことを示す。有理数 $x$ に含まれる素因数 $2$ の指数（$x$ を既約分数で表し、分子の素因数 $2$ の個数から分母の素因数 $2$ の個数を引いた値）を $v_2(x)$ と表す。$P_n$ が整数であるためには $v_2(P_n) \ge 0$ が必要である。

$n=7$ のとき、

$$ v_2(P_7) = v_2(1455300) = v_2(2^2 \cdot 363825) = 2 $$

である。

ここで、$n \ge 8$ において $v_2(a(n))$ を評価する。

$$ v_2(a(n)) = v_2((n+2)(n+3)(n+4)) - v_2(n!) $$

分子の連続する3整数 $n+2, n+3, n+4$ のうち、偶数は高々2つである。仮に2つ存在しても、一方は $4$ で割り切れない単なる $2$ の倍数である。したがって、最大の $2$ のべき乗を $2^k \le n+4 < 2^{k+1}$ （$k$ は自然数）とすると、分子に含まれる素因数 $2$ の個数は高々 $k+1$ 個である。

一方、分母の $n!$ に含まれる素因数 $2$ の個数は、ルジャンドルの定理より

$$ v_2(n!) = \sum_{j=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{2^j} \right\rfloor \ge \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \ge \frac{n-1}{2} $$

$n \ge 8$ において、$2^k \le n+4$ となる $k$ は $k \ge 3$ である。 $n \ge 2^k - 4$ であるから、

$$ v_2(n!) \ge \frac{(2^k - 4) - 1}{2} = 2^{k-1} - \frac{5}{2} $$

$k=3$ のとき（$n=8, 9, 10, 11$）、$v_2(n!) \ge v_2(8!) = 7$ であり、分子の素因数 $2$ の個数は高々 $3+1=4$ 個であるから、$v_2(a(n)) \le 4 - 7 = -3 \le -1$ となる。 $k \ge 4$ のとき、$2^{k-1} - \frac{5}{2} \ge k+1$ が成り立つため、$v_2(a(n)) \le (k+1) - \left(2^{k-1} - \frac{5}{2}\right) \le 0$ となり、より厳密には分母の素因数 $2$ の個数が分子を上回るため常に $v_2(a(n)) \le -1$ となる。

$P_n = P_{n-1} \cdot a(n)$ より $v_2(P_n) = v_2(P_{n-1}) + v_2(a(n))$ であるから、$n \ge 8$ において $v_2(P_n)$ は単調に減少する。

$$ v_2(P_8) = v_2(P_7) + v_2(a(8)) \le 2 - 3 = -1 < 0 $$

となり、$n \ge 8$ に対して常に $v_2(P_n) < 0$ が成り立つため、$P_n$ は整数にならない。

解説

階乗を含む分数の極限や整除性を問う典型的な難問である。（1）では、階乗の増加スピードが多項式よりも圧倒的に速いことを利用してはさみうちの原理を適用する。（2）では、数列が単調減少であることを隣接2項間の比 $\frac{a(n+1)}{a(n)}$ を用いて示し、値が $1$ 未満になる境界を見極めることが重要である。（3）は、積 $P_n$ がどこまで整数になるかを調べる問題である。具体的な計算で $n=7$ までは整数になることが分かるが、$n \ge 8$ 以降で永遠に整数にならないことを論証するために、「素因数 $2$ の個数」に注目する発想（ルジャンドルの定理の応用）が必要になる。