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東京工業大学 2001年理系第2問解説

方針・初手

点 $P$ の到達可能範囲を空間座標 $xyz$ 上で考える。条件は $z$ 軸周りに対称であるため、到達可能な領域は $z$ 軸を回転軸とする回転体となる。

$z \leqq 0$ の領域においては、最大秒速 $a$ で進めるため、原点から直接向かうのが最短である。一方、$z > 0$ の領域にある点に到達するには、まず $z \leqq 0$ の領域を通って $xy$ 平面上の点（$z=0$）に到達し、そこから $z > 0$ の領域を進む経路が考えられる。このとき、$z < 0$ の空間を寄り道するより、直接 $xy$ 平面上を通る方が速さ $a$ を活かせるため、経由するまでの経路は直線で考えて差し支えない。

任意の点 $(x, y, z)$ に対して、到達するまでの所要時間の最小値が $1$ 以下になるような領域を定式化し、断面の境界線を求めて回転体の体積を計算する。

解法1

到達し得る範囲を $D$ とする。条件の対称性から、$D$ は $z$ 軸を回転軸とする回転体である。

(1) $z \leqq 0$ の領域について

この領域では最大速さ $a$ で動けるため、原点から直接向かう直線経路が最短となる。 $1$ 秒後までに到達できる範囲は、原点を中心とする半径 $a$ の球のうち $z \leqq 0$ の部分である。この部分の体積を $V_1$ とすると、

$$ V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi a^3 = \frac{2}{3} \pi a^3 $$

となる。

(2) $z > 0$ の領域について

点 $P$ が $z > 0$ の点 $(x, y, z)$ に到達する最短経路を考える。 $P$ は $xy$ 平面上の点 $Q(u, v, 0)$ を経由するとする。原点 $O$ から $Q$ までは $z \leqq 0$ の領域（境界を含む）を通るため最大速さ $a$ で進め、所要時間の最小値は $\frac{\sqrt{u^2+v^2}}{a}$ である。 $Q$ から $(x, y, z)$ までは $z > 0$ の領域を通るため最大速さ $1$ で進み、所要時間の最小値は $\sqrt{(x-u)^2 + (y-v)^2 + z^2}$ である。したがって、総所要時間は

$$ T(u, v) = \frac{\sqrt{u^2+v^2}}{a} + \sqrt{(x-u)^2 + (y-v)^2 + z^2} $$

となる。点 $(x, y, z)$ に $1$ 秒以内に到達できる条件は、ある実数 $u, v$ が存在して $T(u, v) \leqq 1$ となることである。ここで、到達範囲の $z$ 軸周りの対称性から、$y = 0$ かつ $x = R \geqq 0$ として、点 $(R, 0, z)$ への到達条件を考えても一般性を失わない。このとき、所要時間は

$$ T(u, v) = \frac{\sqrt{u^2+v^2}}{a} + \sqrt{(R-u)^2 + v^2 + z^2} $$

となるが、各項について $\sqrt{u^2+v^2} \geqq |u|$ および $\sqrt{(R-u)^2+v^2+z^2} \geqq \sqrt{(R-u)^2+z^2}$ が成り立つため、$v=0$ かつ $u \geqq 0$ のとき所要時間は最小となる。よって、経由点 $Q$ を $(u, 0, 0)$ ($u \geqq 0$) に限定してよく、到達条件は

$$ \frac{u}{a} + \sqrt{(R-u)^2 + z^2} \leqq 1 $$

となる $u \geqq 0$ が存在することである。これを $R$ について整理する。

$$ \sqrt{(R-u)^2 + z^2} \leqq 1 - \frac{u}{a} $$

右辺は $0$ 以上でなければならないため、$u \leqq a$ である。両辺を $2$ 乗して変形すると、

$$ (R-u)^2 \leqq \left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 - z^2 $$

実数 $R$ が存在するためには右辺が $0$ 以上である必要があり、$z \leqq 1 - \frac{u}{a}$ すなわち $u \leqq a(1-z)$ が条件となる。これを満たすとき、$R$ のとり得る範囲は

$$ R \leqq u + \sqrt{\left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 - z^2} $$

となる。ある $z > 0$ を固定したときの $R$ の最大値を求めるため、右辺の式を $f(u)$ とおき、$0 \leqq u \leqq a(1-z)$ における $f(u)$ の最大値を調べる。

$$ f(u) = u + \sqrt{\left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 - z^2} $$

$u$ で微分すると、

$$ f'(u) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{\left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 - z^2}} \cdot 2\left( 1 - \frac{u}{a} \right) \left( -\frac{1}{a} \right) = 1 - \frac{1 - \frac{u}{a}}{a\sqrt{\left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 - z^2}} $$

$f'(u) = 0$ とすると、

$$ a\sqrt{\left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 - z^2} = 1 - \frac{u}{a} $$

両辺は正であるため $2$ 乗して整理する。

$$ a^2 \left\{ \left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 - z^2 \right\} = \left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 $$

$$ (a^2 - 1) \left( 1 - \frac{u}{a} \right)^2 = a^2 z^2 $$

$a > 1$ および $1 - \frac{u}{a} \geqq 0$、$z > 0$ より、

$$ 1 - \frac{u}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - 1}} z \iff u = a - \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - 1}} z $$

この $u$ の値が定義域 $0 \leqq u \leqq a(1-z)$ に含まれるかで場合分けを行う。

(i) $u \geqq 0$ すなわち $0 < z \leqq \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a}$ のとき

この範囲において $f'(u) = 0$ となる $u$ が存在し、ここで $f(u)$ は極大かつ最大となる。このときの最大値は、

$$ \begin{aligned} f(u) &= \left( a - \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - 1}} z \right) + \sqrt{\frac{a^2}{a^2 - 1} z^2 - z^2} \\ &= a - \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - 1}} z + \frac{z}{\sqrt{a^2 - 1}} \\ &= a - \frac{a^2 - 1}{\sqrt{a^2 - 1}} z \\ &= a - \sqrt{a^2 - 1} z \end{aligned} $$

(ii) $u < 0$ すなわち $z > \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a}$ のとき

定義域 $0 \leqq u \leqq a(1-z)$ において常に $f'(u) < 0$ となるため、$f(u)$ は単調減少する。したがって、$u=0$ のとき最大値をとる。

$$ f(0) = \sqrt{1 - z^2} $$

以上より、$z > 0$ における到達可能範囲の断面の境界は、

$$ R = \begin{cases} a - \sqrt{a^2 - 1} z & \left( 0 < z \leqq \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} \right) \\ \sqrt{1 - z^2} & \left( \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} \leqq z \leqq 1 \right) \end{cases} $$

となる。ここで $z_0 = \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a}$ とおく。 $z > 0$ の領域の体積 $V_2$ は、この図形を $z$ 軸周りに回転させた回転体の体積である。

$$ V_2 = \pi \int_{0}^{z_0} (a - \sqrt{a^2 - 1} z)^2 \, dz + \pi \int_{z_0}^{1} (\sqrt{1 - z^2})^2 \, dz $$

第1項の積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \pi \int_{0}^{z_0} (a - \sqrt{a^2 - 1} z)^2 \, dz &= \pi \left[ - \frac{1}{3\sqrt{a^2 - 1}} (a - \sqrt{a^2 - 1} z)^3 \right]_{0}^{z_0} \\ &= - \frac{\pi}{3\sqrt{a^2 - 1}} \left\{ \left( a - \sqrt{a^2 - 1} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} \right)^3 - a^3 \right\} \\ &= - \frac{\pi}{3\sqrt{a^2 - 1}} \left\{ \left( a - \frac{a^2 - 1}{a} \right)^3 - a^3 \right\} \\ &= - \frac{\pi}{3\sqrt{a^2 - 1}} \left( \frac{1}{a^3} - a^3 \right) \\ &= \frac{\pi (a^6 - 1)}{3a^3\sqrt{a^2 - 1}} \end{aligned} $$

第2項の積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \pi \int_{z_0}^{1} (1 - z^2) \, dz &= \pi \left[ z - \frac{z^3}{3} \right]_{z_0}^{1} \\ &= \pi \left\{ \frac{2}{3} - \left( z_0 - \frac{z_0^3}{3} \right) \right\} \\ &= \pi \left\{ \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} + \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} \right)^3 \right\} \\ &= \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} + \frac{a^2 - 1}{3a^3} \sqrt{a^2 - 1} \right) \\ &= \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{3a^2}{3a^3} \sqrt{a^2 - 1} + \frac{a^2 - 1}{3a^3} \sqrt{a^2 - 1} \right) \\ &= \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{2a^2 + 1}{3a^3} \sqrt{a^2 - 1} \right) \end{aligned} $$

$V_2$ はこれらを足し合わせたものであるから、

$$ \begin{aligned} V_2 &= \frac{\pi (a^6 - 1)}{3a^3\sqrt{a^2 - 1}} + \frac{2}{3} \pi - \frac{\pi (2a^2 + 1)\sqrt{a^2 - 1}}{3a^3} \\ &= \frac{2}{3} \pi + \frac{\pi}{3a^3\sqrt{a^2 - 1}} \left\{ a^6 - 1 - (2a^2 + 1)(a^2 - 1) \right\} \\ &= \frac{2}{3} \pi + \frac{\pi}{3a^3\sqrt{a^2 - 1}} ( a^6 - 1 - 2a^4 + a^2 + 1 ) \\ &= \frac{2}{3} \pi + \frac{\pi}{3a^3\sqrt{a^2 - 1}} ( a^6 - 2a^4 + a^2 ) \\ &= \frac{2}{3} \pi + \frac{\pi a^2(a^2 - 1)^2}{3a^3\sqrt{a^2 - 1}} \\ &= \frac{2}{3} \pi + \frac{\pi (a^2 - 1)\sqrt{a^2 - 1}}{3a} \end{aligned} $$

以上より、求める全体の体積 $V$ は $V_1$ と $V_2$ の和である。

$$ \begin{aligned} V &= V_1 + V_2 \\ &= \frac{2}{3} \pi a^3 + \frac{2}{3} \pi + \frac{\pi (a^2 - 1)\sqrt{a^2 - 1}}{3a} \\ &= \frac{\pi}{3a} \left\{ 2a^4 + 2a + (a^2 - 1)\sqrt{a^2 - 1} \right\} \end{aligned} $$

解説

この問題は、物理学における「ホイヘンスの原理」や「フェルマーの原理（最小作用の原理）」を背景とした数学的モデルである。 $z=0$ の境界面を挟んで波（あるいは光）の伝播速度が異なる状況と全く同じ構造をしている。$z \leqq 0$ から来た波が $xy$ 平面上において二次波源となり、$z > 0$ の領域へ広がる様子を数学的に記述（包絡線の導出）することで、到達可能範囲の境界を定式化できる。途中での場合分けの境界となる $z_0 = \frac{\sqrt{a^2-1}}{a}$ は、全反射が起こる臨界角に関連する値であり、$z \leqq z_0$ の部分は円錐（マッハ円錐のような形状）に、$z \geqq z_0$ の部分は球面の一部になる。立式後は関数を微分して包絡線を正しく導き出せるか、また複雑な定積分をミスなく最後まで計算しきれるかが問われる問題である。