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東京工業大学 2001年理系第1問解説

方針・初手

定積分 $S(a,t)$ の被積分関数に含まれる絶対値を外すことが第一歩である。積分変数 $x$ の区間 $0 \le x \le a$ において、$e^{-x}$ は単調に減少し、$1$ から $e^{-a}$ までの値をとる。したがって、$e^{-x}$ と $\frac{1}{t}$ の大小関係は $t$ の値によって変わるため、$t$ の値による場合分けが必要になる。

解法1

(1)

$0 \le x \le a$ において、$e^{-a} \le e^{-x} \le 1$ である。 $\frac{1}{t}$ と $e^{-x}$ の大小関係により、以下の3つの場合に分ける。

(i)

$\frac{1}{t} \ge 1$ すなわち $0 < t \le 1$ のとき $0 \le x \le a$ で常に $\frac{1}{t} \ge e^{-x}$ であるから、絶対値はそのまま外れる。

$$ S(a, t) = \int_0^a \left( \frac{1}{t} - e^{-x} \right) dx = \left[ \frac{x}{t} + e^{-x} \right]_0^a = \frac{a}{t} + e^{-a} - 1 $$

この範囲において $S(a, t)$ は $t$ について単調減少である。

(ii)

$e^{-a} < \frac{1}{t} < 1$ すなわち $1 < t < e^a$ のとき $e^{-x} = \frac{1}{t}$ の解は $x = \log t$ であり、$0 < \log t < a$ を満たす。 $0 \le x \le \log t$ のとき $e^{-x} \ge \frac{1}{t}$ 、$\log t \le x \le a$ のとき $e^{-x} \le \frac{1}{t}$ であるから、区間を分けて積分する。

$$ \begin{aligned} S(a, t) &= \int_0^{\log t} \left( e^{-x} - \frac{1}{t} \right) dx + \int_{\log t}^a \left( \frac{1}{t} - e^{-x} \right) dx \\ &= \left[ -e^{-x} - \frac{x}{t} \right]_0^{\log t} + \left[ \frac{x}{t} + e^{-x} \right]_{\log t}^a \\ &= \left( -e^{-\log t} - \frac{\log t}{t} \right) - (-1) + \left( \frac{a}{t} + e^{-a} \right) - \left( \frac{\log t}{t} + e^{-\log t} \right) \end{aligned} $$

$e^{-\log t} = \frac{1}{t}$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} S(a, t) &= \left( -\frac{1}{t} - \frac{\log t}{t} \right) + 1 + \left( \frac{a}{t} + e^{-a} \right) - \left( \frac{\log t}{t} + \frac{1}{t} \right) \\ &= \frac{a - 2\log t - 2}{t} + 1 + e^{-a} \end{aligned} $$

これを $t$ で微分する。

$$ \frac{d}{dt} S(a, t) = \frac{-\frac{2}{t} \cdot t - (a - 2\log t - 2) \cdot 1}{t^2} = \frac{2\log t - a}{t^2} $$

$\frac{d}{dt} S(a, t) = 0$ とすると、$\log t = \frac{a}{2}$ より $t = e^{a/2}$。 $a>0$ より $1 < e^{a/2} < e^a$ であるから、この $t$ は条件を満たす。

(iii)

$\frac{1}{t} \le e^{-a}$ すなわち $t \ge e^a$ のとき $0 \le x \le a$ で常に $e^{-x} \ge \frac{1}{t}$ である。

$$ S(a, t) = \int_0^a \left( e^{-x} - \frac{1}{t} \right) dx = \left[ -e^{-x} - \frac{x}{t} \right]_0^a = 1 - e^{-a} - \frac{a}{t} $$

この範囲において $S(a, t)$ は $t$ について単調増加である。

以上（i）～（iii）と、$S(a,t)$ が $t>0$ で連続であることより、$S(a,t)$ の増減は以下のようになる。 $0 < t \le e^{a/2}$ のとき単調減少。 $t \ge e^{a/2}$ のとき単調増加。

したがって、$S(a,t)$ は $t = e^{a/2}$ のとき最小値をとる。

$$ \begin{aligned} m(a) &= S(a, e^{a/2}) \\ &= \frac{a - 2\log(e^{a/2}) - 2}{e^{a/2}} + 1 + e^{-a} \\ &= \frac{a - 2 \cdot \frac{a}{2} - 2}{e^{a/2}} + 1 + e^{-a} \\ &= 1 - 2e^{-a/2} + e^{-a} \\ &= (1 - e^{-a/2})^2 \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果より、求める極限は以下のようになる。

$$ \lim_{a \to 0} \frac{m(a)}{a^2} = \lim_{a \to 0} \frac{(1 - e^{-a/2})^2}{a^2} = \lim_{a \to 0} \left( \frac{1 - e^{-a/2}}{a} \right)^2 $$

ここで、括弧内の式の極限を考える。

$$ \lim_{a \to 0} \frac{1 - e^{-a/2}}{a} = \lim_{a \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{-a/2} - 1}{-a/2} $$

$f(x) = e^x$ の $x=0$ における微分係数は $f'(0) = 1$ であり、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ が成り立つ。 $h = -a/2$ とおくと、$a \to 0$ のとき $h \to 0$ となるため、

$$ \lim_{a \to 0} \frac{e^{-a/2} - 1}{-a/2} = 1 $$

したがって、

$$ \lim_{a \to 0} \frac{1 - e^{-a/2}}{a} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

よって、求める極限は

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $$

解法2

（1）（$u = \frac{1}{t}$ と置換する方法）

$u = \frac{1}{t}$ とおく。$t>0$ であるから $u>0$ であり、$t$ の関数 $S(a,t)$ の最小値を求めることは、$u$ の関数 $T(u) = \int_0^a |e^{-x} - u| dx$ の最小値を求めることと同値である。 $e^{-x}$ は $0 \le x \le a$ で $e^{-a} \le e^{-x} \le 1$ の範囲を単調に減少する。 $T(u)$ の最小値をとる $u$ は $e^{-a} < u < 1$ の範囲に存在することが図形的な面積の考察から分かるため、この範囲について考える。

$e^{-x} = u$ となる $x$ は $x = -\log u$ であり、区間 $(0, a)$ に存在する。

$$ \begin{aligned} T(u) &= \int_0^{-\log u} (e^{-x} - u) dx + \int_{-\log u}^a (u - e^{-x}) dx \\ &= \left[ -e^{-x} - ux \right]_0^{-\log u} + \left[ ux + e^{-x} \right]_{-\log u}^a \\ &= (-u + u\log u) - (-1) + (ua + e^{-a}) - (-u\log u + u) \\ &= 1 + e^{-a} + ua - 2u + 2u\log u \end{aligned} $$

$T(u)$ を $u$ で微分する。

$$ \begin{aligned} T'(u) &= a - 2 + 2\left(1 \cdot \log u + u \cdot \frac{1}{u}\right) \\ &= a - 2 + 2\log u + 2 \\ &= a + 2\log u \end{aligned} $$

$T'(u) = 0$ とすると、$\log u = -\frac{a}{2}$ より $u = e^{-a/2}$。これは $e^{-a} < e^{-a/2} < 1$ を満たす。 $u$ が増加するとき $\log u$ も増加するため、$u = e^{-a/2}$ の前後で $T'(u)$ の符号は負から正に変わる。よって $T(u)$ は $u = e^{-a/2}$ のとき最小値をとる。

$$ \begin{aligned} m(a) &= T(e^{-a/2}) \\ &= 1 + e^{-a} + a e^{-a/2} - 2e^{-a/2} + 2e^{-a/2} \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) \\ &= 1 + e^{-a} - 2e^{-a/2} \\ &= (1 - e^{-a/2})^2 \end{aligned} $$

（(2)は解法1と同じであるため省略する。）

解説

絶対値付きの定積分を計算する際の基本は、「絶対値の中身の符号が変わる境界を調べ、積分区間を分割する」ことである。本問では、積分変数は $x$ だが、中身の符号は $t$ （あるいは $\frac{1}{t}$）と $e^{-x}$ の大小関係によって決まる。そのため、$t$ の値の範囲によって場合分けを行う必要がある。

(1) については、そのまま $t$ の関数として微分する（解法1）のが標準的だが、$\frac{1}{t}$ という形が計算をやや煩雑にする。解法2のように $u = \frac{1}{t}$ と置き換えて1つの変数とみなすことで、微分の計算が大幅に楽になり、計算ミスを防ぎやすくなる。

(2) については、極限計算の定石である「微分係数の定義 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$」に帰着させるのがポイントである。$(1 - e^{-a/2})^2$ を展開して極限をとろうとするとロピタルの定理などを複数回使うことになり遠回りとなるため、括弧の中で極限を処理する工夫が求められる。