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東京工業大学 2002年理系第2問解説

方針・初手

点 $P(a, b)$ を通る直線の方程式を設定し、それが楕円に接する条件から傾きに関する2次方程式を導く。直交する2本の接線が存在することから、解と係数の関係を用いて傾きの積が $-1$ となる条件を立式し、$a$ と $b$ の関係式を求める。

接線が $y$ 軸に平行（傾きが定義できない）となる場合について、場合分けをして処理する。

解法1

点 $P(a, b)$ を通る接線のうち、少なくとも1本が $y$ 軸に平行である場合を考える。

楕円 $\frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{8} = 1$ において、$y$ 軸に平行な接線は $x = \pm \sqrt{17}$ である。これと直交する接線は $x$ 軸に平行な直線となり、楕円の $x$ 軸に平行な接線は $y = \pm \sqrt{8}$ である。したがって、2本の接線が直交してかつ1本が $y$ 軸に平行であるような交点 $P(a, b)$ の座標は、$(\pm \sqrt{17}, \pm 2\sqrt{2})$ （複号任意）となる。これらの点は、$a^2 + b^2 = (\pm \sqrt{17})^2 + (\pm \sqrt{8})^2 = 17 + 8 = 25$ を満たす。

次に、点 $P(a, b)$ を通る接線がどちらも $y$ 軸に平行でない（$a \neq \pm \sqrt{17}$）場合を考える。

接線の傾きを $m$ とおくと、点 $P(a, b)$ を通る直線の方程式は

$$ y - b = m(x - a) $$

$$ y = mx - ma + b $$

これを楕円の方程式 $\frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{8} = 1$ すなわち $8x^2 + 17y^2 = 136$ に代入して整理する。

$$ 8x^2 + 17(mx - ma + b)^2 = 136 $$

$$ 8x^2 + 17\{m^2 x^2 + 2m(-ma + b)x + (-ma + b)^2\} = 136 $$

$$ (8 + 17m^2)x^2 + 34m(-ma + b)x + 17(-ma + b)^2 - 136 = 0 $$

この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、直線が楕円に接するための条件は $D = 0$ である。

$$ \frac{D}{4} = \{17m(-ma + b)\}^2 - (8 + 17m^2)\{17(-ma + b)^2 - 136\} = 0 $$

両辺を $17$ で割ると

$$ 17m^2 (-ma + b)^2 - (8 + 17m^2)(-ma + b)^2 + 8(8 + 17m^2) = 0 $$

$$ -8(-ma + b)^2 + 8(8 + 17m^2) = 0 $$

$$ -(-ma + b)^2 + 8 + 17m^2 = 0 $$

$$ -(m^2 a^2 - 2abm + b^2) + 8 + 17m^2 = 0 $$

$$ (17 - a^2)m^2 + 2abm + 8 - b^2 = 0 $$

ここで $a \neq \pm \sqrt{17}$ より $17 - a^2 \neq 0$ であるから、これは $m$ についての2次方程式となる。点 $P(a, b)$ から引いた2本の接線が直交するとき、この方程式の2つの実数解 $m_1, m_2$ は $m_1 m_2 = -1$ を満たす。解と係数の関係より

$$ \frac{8 - b^2}{17 - a^2} = -1 $$

$$ 8 - b^2 = -(17 - a^2) $$

$$ a^2 + b^2 = 25 $$

これは $a \neq \pm \sqrt{17}$ における点 $P$ の条件であるが、前半で確認した $a = \pm \sqrt{17}$ の場合の交点 $(\pm \sqrt{17}, \pm 2\sqrt{2})$ もこの方程式を満たしている。

また、$a^2 + b^2 = 25$ 上の点は常に楕円 $\frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{8} = 1$ の外部にあるため、条件に適する。以上より、点 $P(a, b)$ の軌跡は円 $x^2 + y^2 = 25$ となる。

解法2

楕円 $\frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{8} = 1$ に接し、傾きが $m$ である接線の方程式は次のように表される。

$$ y = mx \pm \sqrt{17m^2 + 8} $$

この接線が点 $P(a, b)$ を通るので

$$ b = ma \pm \sqrt{17m^2 + 8} $$

$$ b - ma = \pm \sqrt{17m^2 + 8} $$

両辺を2乗して整理する。

$$ (b - ma)^2 = 17m^2 + 8 $$

$$ b^2 - 2abm + m^2 a^2 = 17m^2 + 8 $$

$$ (a^2 - 17)m^2 - 2abm + b^2 - 8 = 0 $$

(i)

$a^2 - 17 \neq 0$ のとき

上記の方程式は $m$ の2次方程式となる。点 $P$ から引いた2本の接線が直交するとき、2つの傾きの積は $-1$ である。解と係数の関係より

$$ \frac{b^2 - 8}{a^2 - 17} = -1 $$

$$ b^2 - 8 = -a^2 + 17 $$

$$ a^2 + b^2 = 25 $$

(ii)

$a^2 - 17 = 0$ のとき

$a = \pm \sqrt{17}$ であり、接線の1本は $y$ 軸に平行な $x = \pm \sqrt{17}$ となる。これと直交する接線は $x$ 軸に平行であり、その方程式は $y = \pm \sqrt{8}$ となるから、$b = \pm \sqrt{8}$ である。このとき、$a^2 + b^2 = 17 + 8 = 25$ となり、（i）で得られた式を満たす。

円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点はすべて楕円の外部にあるため、求める軌跡は円 $x^2 + y^2 = 25$ である。

解説

2次曲線の直交する2接線の交点が描く軌跡は「準円」と呼ばれ、楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の場合は円 $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ となることが知られている。

解法1のように接線を $y = m(x-a)+b$ とおいて判別式 $D=0$ から $m$ の2次方程式を作る方法や、解法2のように傾き $m$ の接線の公式 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$ を用いる方法が定石である。いずれの解法においても、直線の傾き $m$ を用いる段階で「$y$ 軸に平行な接線（傾きが定義できない）」の場合を除外して議論しているため、その場合についての考察を独立して行い、最終的に1つの式に統合できるかを確認する手順が必須となる。