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東京工業大学 2024年理系第1問解説

方針・初手

放物線と円が接するという条件は、接点においてそれぞれの図形の接線が一致することと同値である。特に円の場合は、「円の中心が、放物線の接点における法線上にある」と言い換えることができる。この性質を用いて、まずは円の中心が満たす方程式を立式する。さらに、円が $y$ 軸の正の部分に接するという条件から、円の半径は中心の $x$ 座標に等しく、中心の $y$ 座標は正となる。これを用いて中心の座標を確定させる。曲線の接線の傾きについては、媒介変数表示された曲線の導関数の公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{da}}{\frac{dx}{da}}$ を利用して求める。

解法1

(1)

曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を微分すると $y' = x$ となる。放物線上の接点 $\left(a, \frac{1}{2}a^2\right)$ における接線の傾きは $a$ である。円 $S_a$ はこの点で放物線と接するため、円の中心を $(X, Y)$ とおくと、中心はこの接点における法線上にある。 $a > 0$ より法線の傾きは $-\frac{1}{a}$ となるので、法線の方程式は

$$ y - \frac{1}{2}a^2 = -\frac{1}{a}(x - a) $$

これに点 $(X, Y)$ が乗るため、

$$ Y = -\frac{1}{a}X + 1 + \frac{1}{2}a^2 \cdots \text{①} $$

が成り立つ。一方、円 $S_a$ は $y$ 軸に接するため、その半径は中心の $x$ 座標の絶対値 $|X|$ に等しい。接点の $x$ 座標が $a > 0$ であることと図形的関係から $X > 0$ は明らかであり、半径は $X$ と表せる。円の中心 $(X, Y)$ から接点 $\left(a, \frac{1}{2}a^2\right)$ までの距離が半径 $X$ に等しいことから、

$$ (X - a)^2 + \left(Y - \frac{1}{2}a^2\right)^2 = X^2 $$

①を変形した $Y - \frac{1}{2}a^2 = -\frac{1}{a}X + 1$ を上式に代入して、

$$ (X - a)^2 + \left(-\frac{1}{a}X + 1\right)^2 = X^2 $$

展開して整理する。

$$ X^2 - 2aX + a^2 + \frac{1}{a^2}X^2 - \frac{2}{a}X + 1 = X^2 $$

$$ \frac{1}{a^2}X^2 - 2\left(a + \frac{1}{a}\right)X + a^2 + 1 = 0 $$

両辺に $a^2$ を掛けて、

$$ X^2 - 2a(a^2 + 1)X + a^2(a^2 + 1) = 0 $$

これを $X$ について解く。

$$ X = a(a^2 + 1) \pm \sqrt{a^2(a^2 + 1)^2 - a^2(a^2 + 1)} $$

$$ = a(a^2 + 1) \pm \sqrt{a^4(a^2 + 1)} $$

$$ = a(a^2 + 1) \pm a^2\sqrt{a^2 + 1} $$

ここで、円 $S_a$ は $y$ 軸の「正の」部分に接するため、$Y > 0$ でなければならない。

(i)

$X = a(a^2 + 1) + a^2\sqrt{a^2 + 1}$ のとき

①より、

$$ Y = -\frac{1}{a}\left\{a(a^2 + 1) + a^2\sqrt{a^2 + 1}\right\} + 1 + \frac{1}{2}a^2 $$

$$ = -(a^2 + 1 + a\sqrt{a^2 + 1}) + 1 + \frac{1}{2}a^2 $$

$$ = -a\sqrt{a^2 + 1} - \frac{1}{2}a^2 $$

$a > 0$ より $Y < 0$ となり、条件に反するため不適である。

(ii)

$X = a(a^2 + 1) - a^2\sqrt{a^2 + 1}$ のとき

①より、

$$ Y = -(a^2 + 1 - a\sqrt{a^2 + 1}) + 1 + \frac{1}{2}a^2 $$

$$ = a\sqrt{a^2 + 1} - \frac{1}{2}a^2 $$

ここで、$a > 0$ より $a\sqrt{a^2 + 1} > a\sqrt{a^2} = a^2 > \frac{1}{2}a^2$ であるから $Y > 0$ となり、条件を満たす。

以上より、円 $S_a$ の中心の座標は

$$ (X, Y) = \left(a(a^2 + 1) - a^2\sqrt{a^2 + 1}, \ a\sqrt{a^2 + 1} - \frac{1}{2}a^2\right) $$

点 $P$ は $a = 1$ のときの中心 $S_1$ であるから、代入して

$$ X = 1 \cdot (1^2 + 1) - 1^2\sqrt{1^2 + 1} = 2 - \sqrt{2} $$

$$ Y = 1 \cdot \sqrt{1^2 + 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \sqrt{2} - \frac{1}{2} $$

したがって、点 $P$ の座標は $\left(2 - \sqrt{2}, \ \sqrt{2} - \frac{1}{2}\right)$ である。

(2)

点 $P$ における曲線 $C$ の接線の傾き $\frac{dY}{dX}$ を求める。（1）より、曲線 $C$ は媒介変数 $a$ を用いて以下のように表される。

$$ X = a^3 + a - a^2\sqrt{a^2 + 1} $$

$$ Y = a\sqrt{a^2 + 1} - \frac{1}{2}a^2 $$

それぞれを $a$ で微分する。

$$ \frac{dX}{da} = 3a^2 + 1 - \left( 2a\sqrt{a^2 + 1} + a^2 \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} \right) $$

$$ = 3a^2 + 1 - \frac{2a(a^2 + 1) + a^3}{\sqrt{a^2 + 1}} $$

$$ = 3a^2 + 1 - \frac{3a^3 + 2a}{\sqrt{a^2 + 1}} $$

点 $P$ は $a = 1$ に対応する点であるから、これを代入して

$$ \frac{dX}{da} = 3 \cdot 1^2 + 1 - \frac{3 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1}{\sqrt{1^2 + 1}} = 4 - \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2}} $$

同様に $Y$ について、

$$ \frac{dY}{da} = 1 \cdot \sqrt{a^2 + 1} + a \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} - a $$

$$ = \frac{a^2 + 1 + a^2}{\sqrt{a^2 + 1}} - a = \frac{2a^2 + 1}{\sqrt{a^2 + 1}} - a $$

$a = 1$ を代入して、

$$ \frac{dY}{da} = \frac{2 \cdot 1^2 + 1}{\sqrt{1^2 + 1}} - 1 = \frac{3}{\sqrt{2}} - 1 = \frac{3 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$

よって、求める接線の傾きは

$$ \frac{dY}{dX} = \frac{\frac{dY}{da}}{\frac{dX}{da}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\frac{4\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2}}} = \frac{3 - \sqrt{2}}{4\sqrt{2} - 5} $$

分母を有理化して整理すると、

$$ \frac{dY}{dX} = \frac{(3 - \sqrt{2})(4\sqrt{2} + 5)}{(4\sqrt{2} - 5)(4\sqrt{2} + 5)} $$

$$ = \frac{12\sqrt{2} + 15 - 8 - 5\sqrt{2}}{32 - 25} = \frac{7 + 7\sqrt{2}}{7} = 1 + \sqrt{2} $$

解法2

(2) の別解

$X, Y$ を直接微分する代わりに、(1) で得られた $X, Y, a$ の関係式を用いた陰関数の微分法を利用することもできる。

$X$ と $a$ の関係式

$$ X^2 - 2a(a^2 + 1)X + a^2(a^2 + 1) = 0 $$

の両辺を $a$ で微分すると、

$$ 2X \frac{dX}{da} - 2(3a^2 + 1)X - 2a(a^2 + 1)\frac{dX}{da} + 2a(a^2 + 1) + a^2 \cdot 2a = 0 $$

整理して、

$$ 2X \frac{dX}{da} - 2(3a^2 + 1)X - 2a(a^2 + 1)\frac{dX}{da} + 4a^3 + 2a = 0 $$

$a = 1$ のとき、(1) より $X = 2 - \sqrt{2}$ であるから、これを代入すると

$$ 2(2 - \sqrt{2})\frac{dX}{da} - 8(2 - \sqrt{2}) - 4\frac{dX}{da} + 6 = 0 $$

$$ -2\sqrt{2}\frac{dX}{da} = 10 - 8\sqrt{2} $$

$$ \frac{dX}{da} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{2\sqrt{2}} = 4 - \frac{5}{\sqrt{2}} $$

また、$Y$ と $X, a$ の関係式

$$ Y = -\frac{X}{a} + 1 + \frac{1}{2}a^2 $$

の両辺を $a$ で微分すると、

$$ \frac{dY}{da} = \frac{X}{a^2} - \frac{1}{a}\frac{dX}{da} + a $$

$a = 1$, $X = 2 - \sqrt{2}$, $\frac{dX}{da} = 4 - \frac{5}{\sqrt{2}}$ を代入すると、

$$ \frac{dY}{da} = (2 - \sqrt{2}) - \left(4 - \frac{5}{\sqrt{2}}\right) + 1 = -1 + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$

よって、接線の傾きは

$$ \frac{dY}{dX} = \frac{\frac{dY}{da}}{\frac{dX}{da}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\frac{4\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2}}} = 1 + \sqrt{2} $$

解説

円が特定の曲線と接する条件は、「共有点を持ち、その点での接線が互いに一致する」ことである。円の場合はさらに「円の中心が接点における法線上にある」と言い換えることができ、これを用いて円の中心座標の条件を導くのが定石である。（1）では、中心の $x$ 座標について2次方程式を解くことになるが、得られた2つの解から「$y$ 軸の正の部分と接する（すなわち $y > 0$）」という条件を満たすものを正しく取捨選択する必要がある。（2）は媒介変数表示された曲線の微分の基本問題である。式が複雑になるため計算ミスを誘発しやすいが、解法2のように元の関係式をそのまま微分する陰関数微分の考え方を用いると、早い段階で数値を代入でき、式変形の負担を減らすことができる。