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大阪大学 2006年文系第3問解説

方針・初手

直線 $l$ が $x$ 軸、$y$ 軸と交わるという条件から、直線の傾きを媒介変数として設定し、点 $P, Q$ の座標を求める。次に、与えられたベクトルの関係式を用いて点 $R$ の座標を媒介変数で表し、その媒介変数を消去することで点 $R$ が描く曲線（関数 $f(x)$）の式を導く。

解法1

直線 $l$ は $x$ 軸と交わるため、その傾きは $0$ ではない。また、$y$ 軸と交わるため、$y$ 軸に平行ではない。したがって、直線 $l$ の傾きを $m \ (m \neq 0)$ とおくことができる。

直線 $l$ は点 $A(1, 2)$ を通るので、その方程式は、

$$ y - 2 = m(x - 1) $$

と表される。

点 $P$ は直線 $l$ と $x$ 軸の交点であるから、$y = 0$ を代入して、

$$ -2 = m(x - 1) $$

$m \neq 0$ より $x = 1 - \frac{2}{m}$ となる。よって、点 $P$ の座標は $P\left( 1 - \frac{2}{m}, 0 \right)$ である。

点 $Q$ は直線 $l$ と $y$ 軸の交点であるから、$x = 0$ を代入して、

$$ y = 2 - m $$

よって、点 $Q$ の座標は $Q(0, 2 - m)$ である。

与えられた条件式 $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OR}$ を変形すると、

$$ \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OA} $$

となる。点 $R$ の座標を $(X, Y)$ とおくと、$\overrightarrow{OA} = (1, 2)$ であるから、

$$ (X, Y) = \left( 1 - \frac{2}{m}, 0 \right) + (0, 2 - m) - (1, 2) $$

これを成分ごとに計算すると、

$$ X = 1 - \frac{2}{m} + 0 - 1 = -\frac{2}{m} $$

$$ Y = 0 + 2 - m - 2 = -m $$

となる。

$Y = -m$ を $X = -\frac{2}{m}$ に代入すると、

$$ X = \frac{2}{Y} $$

$m \neq 0$ であるから、$X \neq 0$ かつ $Y \neq 0$ であり、

$$ Y = \frac{2}{X} $$

と変形できる。

したがって、点 $R(X, Y)$ は関数 $y = \frac{2}{x}$ のグラフ上にある。

解法2

直線 $l$ と $x$ 軸、$y$ 軸との交点をそれぞれ $P(p, 0), Q(0, q)$ とおく。

(i) 直線 $l$ が原点を通らない場合

このとき $p \neq 0, q \neq 0$ であり、直線 $l$ の方程式は次のように表せる。

$$ \frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1 $$

直線 $l$ は点 $A(1, 2)$ を通るので、

$$ \frac{1}{p} + \frac{2}{q} = 1 $$

が成り立つ。

与えられたベクトルの条件式 $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OA}$ より、点 $R(X, Y)$ の座標は、

$$ (X, Y) = (p, 0) + (0, q) - (1, 2) = (p - 1, q - 2) $$

したがって、$X = p - 1, Y = q - 2$ となり、$p = X + 1, q = Y + 2$ を得る。これを上記の式に代入すると、

$$ \frac{1}{X + 1} + \frac{2}{Y + 2} = 1 $$

これを変形していく。

$$ \frac{2}{Y + 2} = 1 - \frac{1}{X + 1} $$

$$ \frac{2}{Y + 2} = \frac{X}{X + 1} $$

ここで、$l$ は $x$ 軸および $y$ 軸と交わり、かつ $x$ 軸に平行ではないため $q \neq 2$（すなわち $Y \neq 0$）であり、同様に $p \neq 1$（すなわち $X \neq 0$）である。両辺の逆数をとると、

$$ \frac{Y + 2}{2} = \frac{X + 1}{X} $$

$$ \frac{Y}{2} + 1 = 1 + \frac{1}{X} $$

$$ \frac{Y}{2} = \frac{1}{X} $$

$$ Y = \frac{2}{X} $$

(ii) 直線 $l$ が原点を通る場合

このとき、$P(0, 0), Q(0, 0)$ であり、$A(1, 2)$ を通る直線 $y = 2x$ が該当する。このとき、点 $R$ の座標は、

$$ X = 0 - 1 = -1 $$

$$ Y = 0 - 2 = -2 $$

となり、これは $Y = \frac{2}{X}$ に代入すると $-2 = \frac{2}{-1}$ となるため満たしている。

以上（i）, （ii）より、直線 $l$ の傾きにかかわらず、点 $R$ は関数 $y = \frac{2}{x}$ のグラフ上にある。

解説

動く直線によって決まる点の軌跡を求める典型的な問題である。直線の表し方として、解法1のように「通る点と傾き」を用いる方法と、解法2のように「$x$ 切片と $y$ 切片」を用いる方法がある。どちらを採用しても計算量は多くないが、解法2のように切片形 $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ を用いる場合は、直線が原点を通る場合（$p=0$ または $q=0$）を分母が $0$ になってしまうため表現できず、場合分けによる例外処理が必要となる点に注意したい。