名古屋大学 1982年 文系 第1問 解説

方針・初手

長方形の向きを角度パラメータ $\theta$ で表し、$x$ 軸および $y$ 軸への正射影の長さ $l, m$ を $\theta$ の式で表す。 図形の対称性からパラメータの範囲を $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ に絞り、$X = l-m, Y=l+m$ とおいて媒介変数 $\theta$ を消去することで、軌跡の方程式と変域を求める。

解法1

長方形の隣り合う2辺の方向ベクトルを考える。辺の長さが $2$ と $1$ であるから、長方形の1辺が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とおくと、もう1辺は $x$ 軸の正の向きと $\theta + \frac{\pi}{2}$ の角をなす。

正射影の長さは図形を回転させても周期性や対称性により値の組が同じように現れるため、$\theta$ の範囲は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ と限定してよい。この範囲では $\cos\theta \geqq 0, \sin\theta \geqq 0$ であるため、絶対値記号を外して計算できる。

長方形の辺の長さを $a, b$ （ただし $\{a, b\} = \{1, 2\}$）とする。それぞれの辺の正射影の長さの和が全体の正射影の長さとなるから、

$$ \begin{aligned} l &= a|\cos\theta| + b\left|\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right| = a\cos\theta + b\sin\theta \\ m &= a|\sin\theta| + b\left|\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right| = a\sin\theta + b\cos\theta \end{aligned} $$

と表せる。ここで、点 $(l-m, l+m)$ の座標を $(X, Y)$ とおく。

(i) $a=2, b=1$ のとき

$$ \begin{cases} l = 2\cos\theta + \sin\theta \\ m = 2\sin\theta + \cos\theta \end{cases} $$

これより、$X$ と $Y$ は次のように表される。

$$ \begin{cases} X = l - m = \cos\theta - \sin\theta \\ Y = l + m = 3(\cos\theta + \sin\theta) \end{cases} $$

これらをそれぞれ2乗すると、

$$ \begin{aligned} X^2 &= (\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta \\ Y^2 &= 9(\cos\theta + \sin\theta)^2 = 9(1 + 2\sin\theta\cos\theta) \end{aligned} $$

上の式から $2\sin\theta\cos\theta = 1 - X^2$ となるので、これを下の式に代入して $\theta$ を消去する。

$$ Y^2 = 9\{1 + (1 - X^2)\} = 18 - 9X^2 $$

変形して、軌跡が含まれる図形の方程式を得る。

$$ \frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{18} = 1 $$

次に、$X, Y$ の変域を求める。三角関数の合成を用いると、

$$ \begin{aligned} X &= \sqrt{2}\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \\ Y &= 3\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{4}$ であるから、

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{\sqrt{2}} &\leqq \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &\leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1 \end{aligned} $$

したがって、各変域は次のようになる。

$$ \begin{aligned} -1 &\leqq X \leqq 1 \\ 3 &\leqq Y \leqq 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

(ii) $a=1, b=2$ のとき

$$ \begin{cases} l = \cos\theta + 2\sin\theta \\ m = \sin\theta + 2\cos\theta \end{cases} $$

これより、$X$ と $Y$ は次のように表される。

$$ \begin{cases} X = l - m = -\cos\theta + \sin\theta \\ Y = l + m = 3(\cos\theta + \sin\theta) \end{cases} $$

この $X$ は (i) の $X$ の符号を反転させたものに等しく、$Y$ は共通である。(i) で求めた軌跡 $\frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{18} = 1 \ (-1 \leqq X \leqq 1)$ は $Y$ 軸に関して対称な図形であるため、$X$ の符号を反転させても図形全体としては (i) と完全に一致する。

以上 (i), (ii) より、求める点の全体は、楕円 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{18} = 1$ のうち $y \geqq 3$ （または $-1 \leqq x \leqq 1$）を満たす部分である。

解説

平面図形の正射影の長さを求める際は、図形を構成する線分の方向ベクトルに注目し、絶対値を用いて立式するのが基本である。本問では長方形であるため、直交する2方向のベクトルの射影の和として $l, m$ が定まる。

対称性から角度パラメータ $\theta$ の範囲を第1象限に絞ることで、煩雑な絶対値の処理を回避できる。媒介変数表示された関数の軌跡を求める際は、和と差の形 $\cos\theta \pm \sin\theta$ を2乗して相互に代入する手法が定石である。また、図形の一部が切り取られるため、三角関数の合成を用いて $x, y$ の変域を正確に求める手順が不可欠である。

答え

求める図形は、楕円 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{18} = 1$ のうち、$y \geqq 3$ を満たす部分である。

図示する場合、中心が原点、長軸が $y$ 軸上にある楕円の上部の一部となる。端点が $(-1, 3)$ と $(1, 3)$、頂点が $(0, 3\sqrt{2})$ であり、これらを結ぶ上に凸な曲線（実線部分）を描く。