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東京工業大学 2021年理系第5問解説

方針・初手

(1)は、円の式から $x^2$ を消去し、$y$ についての条件に帰着させるのが定石である。円の存在範囲に注意して不等式が常に成り立つための条件を求める。 (2)は、(1)の条件を満たせば自明に満たされる十分性と、原点近傍における曲線の振る舞いから導かれる必要性を分けて示すと論理が明確になる。 (3)は、領域 $D$ を把握し、全体の体積から円によって「くり抜かれる」部分の体積を引く方針をとる。全体の体積計算には円筒分割法（バウムクーヘン積分）を用いると計算が簡潔に済む。また、円によるくり抜き部分は、円の頂点の $y$ 座標と領域の上端 $y=\frac{1}{4}$ の大小関係によって場合分けが発生することに着目する。

解法1

(1)

円 $C$ を境界とする円板上の任意の点 $(x, y)$ が $y \geqq x^2$ を満たす条件を求める。円 $C$ の方程式 $x^2 + (y-a)^2 = a^2$ を変形すると、

$$ x^2 = a^2 - (y-a)^2 = 2ay - y^2 $$

これを $y \geqq x^2$ に代入して整理する。

$$ y \geqq 2ay - y^2 $$

$$ y^2 + (1-2a)y \geqq 0 $$

$$ y(y + 1 - 2a) \geqq 0 $$

円 $C$ 上の点の $y$ 座標のとりうる範囲は $0 \leqq y \leqq 2a$ である。この範囲のすべての $y$ に対して上記の不等式が成り立つ必要がある。 $y=0$ のときは常に等号が成立する。 $0 < y \leqq 2a$ の範囲において不等式が成り立つためには、両辺を $y$ で割って、

$$ y + 1 - 2a \geqq 0 $$

すなわち、

$$ y \geqq 2a - 1 $$

が、区間 $0 < y \leqq 2a$ 内の任意の $y$ について成り立つことが必要十分である。これが成り立つためには、区間の下限について $2a - 1 \leqq 0$ となればよい。したがって、

$$ a \leqq \frac{1}{2} $$

問題の条件 $a > 0$ と合わせて、求める $a$ の範囲は、

$$ 0 < a \leqq \frac{1}{2} $$

(2)

円 $C$ が $y \geqq x^2 - x^4$ に含まれる条件を考える。すべての実数 $x$ において $x^4 \geqq 0$ であるから、$x^2 \geqq x^2 - x^4$ が常に成り立つ。したがって、(1)の結果より $0 < a \leqq \frac{1}{2}$ を満たしていれば、円 $C$ 上の点はすべて $y \geqq x^2$ を満たし、自動的に $y \geqq x^2 - x^4$ も満たす。よって十分である。

次に、必要条件を調べる。円の下半分の弧の方程式は $y = a - \sqrt{a^2 - x^2}$ （$-a \leqq x \leqq a$）である。これが $y \geqq x^2 - x^4$ に含まれるためには、区間 $-a \leqq x \leqq a$ において常に

$$ a - \sqrt{a^2 - x^2} \geqq x^2 - x^4 $$

が成り立つことが必要である。これを変形する。

$$ a - x^2 + x^4 \geqq \sqrt{a^2 - x^2} $$

$x$ が $0$ に十分近いとき、左辺は正であるから、両辺を2乗しても同値性は保たれる。

$$ (a - x^2 + x^4)^2 \geqq a^2 - x^2 $$

$$ a^2 - 2ax^2 + 2ax^4 + x^4 - 2x^6 + x^8 \geqq a^2 - x^2 $$

$$ x^8 - 2x^6 + (2a+1)x^4 + (1-2a)x^2 \geqq 0 $$

$$ x^2 \{x^6 - 2x^4 + (2a+1)x^2 + 1 - 2a\} \geqq 0 $$

$x \neq 0$ のとき、$x^2 > 0$ であるから、

$$ x^6 - 2x^4 + (2a+1)x^2 + 1 - 2a \geqq 0 $$

この不等式が原点近傍で常に成り立つためには、$x \to 0$ の極限をとったときにも $0$ 以上でなければならない。

$$ \lim_{x \to 0} \{x^6 - 2x^4 + (2a+1)x^2 + 1 - 2a\} \geqq 0 $$

$$ 1 - 2a \geqq 0 $$

よって $a \leqq \frac{1}{2}$ が必要である。以上より、必要十分な $a$ の範囲は、

$$ 0 < a \leqq \frac{1}{2} $$

(3)

$y = x^2 - x^4$ とおくと、$y' = 2x - 4x^3 = 2x(1 - 2x^2)$。 $x \geqq 0$ の範囲において、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で極大かつ最大値 $y = \frac{1}{4}$ をとる。したがって、条件 $|x| \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $y \geqq x^2 - x^4$ を満たす点は、自動的に $y \geqq 0$ を満たし、領域の上限は $y = \frac{1}{4}$ となる。

領域 $D_1$ を $y \geqq x^2 - x^4$, $0 \leqq y \leqq \frac{1}{4}$, $|x| \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ で囲まれた部分とする。領域 $D$ は、領域 $D_1$ から、円の内部 $x^2 + (y-a)^2 < a^2$ を除いた部分である。求める体積 $V$ は、$D_1$ を $y$ 軸の周りに回転させた体積 $V_1$ から、円の内部と $D_1$ の共通部分を回転させた体積 $V_2$ を引くことで求められる。

まず、$V_1$ を円筒分割法（バウムクーヘン積分）を用いて計算する。

$$ V_1 = 2\pi \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x \left\{ \frac{1}{4} - (x^2 - x^4) \right\} dx $$

$$ = 2\pi \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{1}{4}x - x^3 + x^5 \right) dx $$

$$ = 2\pi \left[ \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{6}x^6 \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} $$

$x^2 = \frac{1}{2}$ を代入して、

$$ V_1 = 2\pi \left( \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{8} \right) = 2\pi \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{16} + \frac{1}{48} \right) = \frac{\pi}{24} $$

次に $V_2$ を求める。 (2)より円は $y \geqq x^2 - x^4$ に含まれるため、除外すべき体積 $V_2$ は、円 $C$ のうち $y \leqq \frac{1}{4}$ に含まれる部分の回転体の体積に等しい。円の最上点の $y$ 座標は $2a$ であるため、$2a$ と $\frac{1}{4}$ の大小関係によって場合分けを行う。

(i)

$2a \leqq \frac{1}{4}$ すなわち $0 < a \leqq \frac{1}{8}$ のとき円全体が $y \leqq \frac{1}{4}$ の領域に含まれる。したがって、$V_2$ は半径 $a$ の球の体積となる。

$$ V_2 = \frac{4}{3}\pi a^3 $$

よって求める体積は、

$$ V = V_1 - V_2 = \frac{\pi}{24} - \frac{4}{3}\pi a^3 $$

(ii)

$2a > \frac{1}{4}$ すなわち $\frac{1}{8} \leqq a \leqq \frac{1}{2}$ のとき円は $y = \frac{1}{4}$ の直線によって切り取られる。 $y$ 軸に垂直な平面で切断した円盤の面積を $y$ 方向に積分して $V_2$ を求める。円の式より $x^2 = 2ay - y^2$ であるから、

$$ V_2 = \pi \int_{0}^{\frac{1}{4}} (2ay - y^2) dy $$

$$ = \pi \left[ a y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{4}} $$

$$ = \pi \left( \frac{a}{16} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{64} \right) = \pi \left( \frac{a}{16} - \frac{1}{192} \right) $$

よって求める体積は、

$$ V = \frac{\pi}{24} - \pi \left( \frac{a}{16} - \frac{1}{192} \right) = \frac{8\pi}{192} - \frac{12a\pi}{192} + \frac{\pi}{192} = \frac{9 - 12a}{192}\pi = \frac{3 - 4a}{64}\pi $$

なお、$a = \frac{1}{8}$ のとき、（i）より $V = \frac{\pi}{24} - \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \frac{\pi}{384}$ であり、（ii）より $V = \frac{3 - \frac{1}{2}}{64}\pi = \frac{\pi}{384}$ となり、結果は一致する。

解説

(1)と(2)は曲線の包含関係を問う問題であり、図形的な直感（原点における曲率半径の比較）から答えを推測しやすいが、答案としては代数的な不等式の成立条件として厳密に論証する力が求められる。特に(2)における必要性の証明では、原点に近づける極限操作を組み込むことでスマートに処理できる。 (3)の体積計算は、$y$ 軸周りの回転体であるため、$x$ の式を $y$ で表して積分するのが基本だが、$y = x^2 - x^4$ の逆関数を求めるのは煩雑である。このようなケースではバウムクーヘン積分を用いると劇的に計算量を減らすことができる。また、円による「くり抜き」を別個に計算し、頂点の高さに応じた場合分けを忘れずに行うことが完答への鍵となる。