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東京工業大学 2014年理系第4問解説

方針・初手

(1) 点 $P$ を原点を中心に $45^\circ$ 回転して点 $Q$ が得られることから、複素数平面の利用または回転行列の利用が有効である。ここでは複素数平面を用いて計算する。

(2) 曲線 $C$ 上の点はパラメータ $t$ を用いて表される。直線 $y=a$ との共有点の条件は、$y(t) = a$ を満たす $t$ の実数解の条件に帰着する。ただし、異なる $t$ から同じ点 $Q$ が得られる可能性がないかどうかの確認が必要である。

(3) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $y$ 軸のまわりに回転させる。定石通り $y$ 軸に垂直な平面で切断し、$y$ で積分する方針をとる。その際、$x$ と $y$ の関係式から $t$ を消去するのは困難なため、解と係数の関係を活用して計算を工夫する。また、円筒分割法（バウムクーヘン積分）を用いると計算が単調な多項式の積分に帰着でき、見通しが良くなる。

(1)

解法1

点 $P$ の座標は $(t, \sqrt{2}t^2 - 2t)$ である。複素数平面上で、点 $P, Q$ を表す複素数をそれぞれ $z, w$ とすると、

$$ z = t + (\sqrt{2}t^2 - 2t)i $$

$$ w = x + yi $$

と表せる。点 $Q$ は点 $P$ を原点中心に $45^\circ$ 回転した点であるから、

$$ w = \left(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ\right) z $$

が成り立つ。これを計算すると、

$$ x + yi = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \left\{ t + (\sqrt{2}t^2 - 2t)i \right\} $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ t - (\sqrt{2}t^2 - 2t) \right\} + \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ t + (\sqrt{2}t^2 - 2t) \right\} i $$

$$ = \left( -t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}t \right) + \left( t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}t \right) i $$

実部と虚部を比較して、

$$ x = -t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}t $$

$$ y = t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}t $$

(2)

解法1

曲線 $C$ と直線 $y=a$ の共有点の $y$ 座標は $a$ である。共有点をもつとき、$t$ は方程式 $t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}t = a$ を満たす。すなわち、

$$ t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}t - a = 0 \cdots \text{①} $$

曲線 $C$ と直線 $y=a$ がただ 1 つの共有点を持つのは、次の（i）または（ii）のいずれかが成り立つときである。（i）方程式 ① がただ 1 つの実数解（重解）をもつ。（ii）方程式 ① が異なる 2 つの実数解をもつが、それらに対応する $x$ 座標が等しい。

まず（ii）の場合を調べる。方程式 ① が異なる 2 つの実数解 $t_1, t_2$ をもつと仮定する。解と係数の関係より、

$$ t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

このとき、それぞれの $t$ に対応する $x$ 座標の差をとると、

$$ x(t_1) - x(t_2) = \left( -t_1^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}t_1 \right) - \left( -t_2^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}t_2 \right) $$

$$ = -(t_1^2 - t_2^2) + \frac{3\sqrt{2}}{2}(t_1 - t_2) $$

$$ = (t_1 - t_2) \left\{ -(t_1 + t_2) + \frac{3\sqrt{2}}{2} \right\} $$

$$ = (t_1 - t_2) \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) $$

$$ = \sqrt{2}(t_1 - t_2) $$

$t_1 \neq t_2$ であるから $x(t_1) - x(t_2) \neq 0$ となり、対応する $x$ 座標は一致しない。したがって、（ii）の場合は起こり得ない。

ゆえに、共有点がただ 1 つである条件は（i）の「方程式 ① が重解をもつこと」である。 ① の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となればよいから、

$$ D = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = \frac{1}{2} + 4a = 0 $$

よって、

$$ a = -\frac{1}{8} $$

(3)

解法1

曲線 $C$ と $x$ 軸の交点を求める。$y = 0$ とすると、

$$ t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}t = 0 $$

$$ t \left( t - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 0 $$

これより $t = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。 $t = 0$ のとき $(x, y) = (0, 0)$、$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $(x, y) = (1, 0)$ を通る。

$y = \left( t - \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2 - \frac{1}{8}$ であるから、$0 \leqq t \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ の範囲において $y \leqq 0$ である。また、$x'(t) = -2t + \frac{3\sqrt{2}}{2}$ であり、$0 \leqq t \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ において $x'(t) \geqq \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ であるため、$x$ は $0$ から $1$ まで単調に増加する。

よって図形 $D$ は、$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲において曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域である。 $y$ の取りうる値の範囲は $-\frac{1}{8} \leqq y \leqq 0$ であり、各 $y$ に対して $t$ の方程式 $t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}t - y = 0$ は $0 \leqq t \leqq \frac{\sqrt{2}}{4}$ と $\frac{\sqrt{2}}{4} \leqq t \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ の範囲に 1 つずつ解をもつ。これらを $t_1, t_2$ （$t_1 \leqq t_2$）とし、対応する $x$ 座標を $x_1, x_2$ とする。求める体積 $V$ は $y$ 軸に垂直な平面で切断して考えると、

$$ V = \pi \int_{-\frac{1}{8}}^{0} \left( x_2^2 - x_1^2 \right) dy $$

と表される。ここで (1) の結果から $x+y = \sqrt{2}t$、すなわち $x = \sqrt{2}t - y$ であることを用いると、

$$ x_2^2 - x_1^2 = (\sqrt{2}t_2 - y)^2 - (\sqrt{2}t_1 - y)^2 $$

$$ = 2(t_2^2 - t_1^2) - 2\sqrt{2}y(t_2 - t_1) $$

$$ = 2(t_2 - t_1)(t_1 + t_2) - 2\sqrt{2}y(t_2 - t_1) $$

解と係数の関係より、$t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \ t_1 t_2 = -y$ であるから、

$$ (t_2 - t_1)^2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2 = \frac{1}{2} + 4y $$

$t_1 \leqq t_2$ より $t_2 - t_1 = \sqrt{\frac{1}{2} + 4y}$ となる。これを代入して、

$$ x_2^2 - x_1^2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + 4y} - 2\sqrt{2}y \sqrt{\frac{1}{2} + 4y} = \sqrt{2}(1 - 2y)\sqrt{\frac{1}{2} + 4y} $$

したがって、

$$ V = \sqrt{2}\pi \int_{-\frac{1}{8}}^{0} (1 - 2y)\sqrt{\frac{1}{2} + 4y} \ dy $$

ここで $u = \frac{1}{2} + 4y$ とおくと、$du = 4 dy$。積分区間は $y$ が $-\frac{1}{8} \to 0$ のとき、$u$ は $0 \to \frac{1}{2}$ となる。また、$y = \frac{u}{4} - \frac{1}{8}$ より $1 - 2y = 1 - 2\left( \frac{u}{4} - \frac{1}{8} \right) = \frac{5}{4} - \frac{u}{2}$。

$$ V = \sqrt{2}\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{5}{4} - \frac{u}{2} \right) \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} du $$

$$ = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{5}{4} u^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} u^{\frac{3}{2}} \right) du $$

$$ = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \left[ \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} $$

$$ = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \left( \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4\sqrt{2}} \right) $$

$$ = \frac{\pi}{4} \left( \frac{5}{12} - \frac{1}{40} \right) $$

$$ = \frac{\pi}{4} \left( \frac{50}{120} - \frac{3}{120} \right) $$

$$ = \frac{47}{480}\pi $$

（※訂正：計算途中の約分等を修正した）正しくは、

$$ \frac{5}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{5}{12} - \frac{1}{20} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{22}{60} = \frac{11}{30\sqrt{2}} $$

これに $\frac{\sqrt{2}\pi}{4}$ をかけると、

$$ V = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \cdot \frac{11}{30\sqrt{2}} = \frac{11}{120}\pi $$

解法2

円筒分割法（バウムクーヘン積分）を用いる。図形 $D$ を $y$ 軸まわりに回転させた体積 $V$ は、

$$ V = \int_{0}^{1} 2\pi x (-y) dx $$

で求められる。これを媒介変数 $t$ による積分に置換する。 $x(t)$ は $0 \leqq t \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ において単調増加であり、$x=0$ のとき $t=0$、$x=1$ のとき $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。 $dx = x'(t) dt = \left( -2t + \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) dt$ を用いると、

$$ V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} x(t) \{ -y(t) \} x'(t) dt $$

$$ = 2\pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( -t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}t \right) \left( -t^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t \right) \left( -2t + \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) dt $$

被積分関数の最初の2つの因子の積は、

$$ \left( -t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}t \right) \left( -t^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t \right) = t^4 - 2\sqrt{2}t^3 + \frac{3}{2}t^2 $$

これに $\left( -2t + \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$ をかけると、

$$ \left( t^4 - 2\sqrt{2}t^3 + \frac{3}{2}t^2 \right) \left( -2t + \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) = -2t^5 + \frac{11\sqrt{2}}{2}t^4 - 9t^3 + \frac{9\sqrt{2}}{4}t^2 $$

したがって、

$$ V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( -2t^5 + \frac{11\sqrt{2}}{2}t^4 - 9t^3 + \frac{9\sqrt{2}}{4}t^2 \right) dt $$

$$ = 2\pi \left[ -\frac{1}{3}t^6 + \frac{11\sqrt{2}}{10}t^5 - \frac{9}{4}t^4 + \frac{3\sqrt{2}}{4}t^3 \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$

$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入すると、 $t^3 = \frac{\sqrt{2}}{4}, \ t^4 = \frac{1}{4}, \ t^5 = \frac{\sqrt{2}}{8}, \ t^6 = \frac{1}{8}$ となるため、

$$ V = 2\pi \left( -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{11\sqrt{2}}{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{8} - \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \right) $$

$$ = 2\pi \left( -\frac{1}{24} + \frac{11}{40} - \frac{9}{16} + \frac{3}{8} \right) $$

括弧内を通分する（分母を $240$ とする）。

$$ V = 2\pi \left( \frac{-10 + 66 - 135 + 90}{240} \right) = 2\pi \cdot \frac{11}{240} = \frac{11}{120}\pi $$

解説

(3) の回転体の体積は、媒介変数表示された曲線の積分の典型問題である。解法1のように $y$ 軸に垂直な切り口の円を考えるのが教科書通りの正攻法であるが、$x_2^2 - x_1^2$ の計算でそのまま解の公式から得られる根号の式を代入すると計算が煩雑になる。$x = \sqrt{2}t - y$ と一次式に次数下げを行うか、解と係数の関係を利用して対称式として処理する工夫が求められる。一方、解法2の円筒分割法（バウムクーヘン積分）は教科書外の知識ではあるものの、今回のように $x(t)$ が単調増加である場合には、置換積分により多項式の積分に帰着できるため、計算ミスを減らす上で非常に有効な手段となる。