東京大学 1986年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ は下に凸の2次関数であるから，まずは平方完成を行い，頂点（軸）の座標を把握する．定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ に対して，放物線の軸 $x=a$ がどの位置にあるかによって，最小値をとる $x$ の値が変わる．軸の位置で場合分けを行い，各場合における最小値 $m$ を $a$ の式で表し，$m=0$ となる $a$ の方程式を解く．最後に，得られた $a$ の値がそれぞれの場合分けの条件を満たすかどうかを確認する．

解法1

関数 $f(x)$ を平方完成する．

$$ \begin{aligned} f(x) &= 2x^2 - 4ax + a + a^2 \\ &= 2(x^2 - 2ax) + a + a^2 \\ &= 2(x - a)^2 - 2a^2 + a + a^2 \\ &= 2(x - a)^2 - a^2 + a \end{aligned} $$

これより，$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり，軸は直線 $x = a$，頂点の $y$ 座標は $-a^2 + a$ である． 定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ と軸 $x = a$ の位置関係により，以下の3つの場合に分ける．

(i)

$a < 0$ のとき

軸は定義域の左側にあるため，$f(x)$ は $0 \leqq x \leqq 3$ において単調に増加する． したがって，$x = 0$ のとき最小となる． 最小値 $m$ は，

$$ m = f(0) = a^2 + a $$

$m = 0$ であるから，

$$ a^2 + a = 0 $$

$$ a(a + 1) = 0 $$

$a < 0$ の条件より，$a = -1$ である．これは条件を満たす．

(ii)

$0 \leqq a \leqq 3$ のとき

軸は定義域内にあるため，$f(x)$ は頂点において最小となる． したがって，$x = a$ のとき最小となる． 最小値 $m$ は，

$$ m = f(a) = -a^2 + a $$

$m = 0$ であるから，

$$ -a^2 + a = 0 $$

$$ -a(a - 1) = 0 $$

これより $a = 0, 1$ となる．これらはともに $0 \leqq a \leqq 3$ の条件を満たす．

(iii)

$3 < a$ のとき

軸は定義域の右側にあるため，$f(x)$ は $0 \leqq x \leqq 3$ において単調に減少する． したがって，$x = 3$ のとき最小となる． 最小値 $m$ は，

$$ \begin{aligned} m = f(3) &= 2 \cdot 3^2 - 4a \cdot 3 + a + a^2 \\ &= 18 - 12a + a + a^2 \\ &= a^2 - 11a + 18 \end{aligned} $$

$m = 0$ であるから，

$$ a^2 - 11a + 18 = 0 $$

$$ (a - 2)(a - 9) = 0 $$

これより $a = 2, 9$ となるが，$3 < a$ の条件を満たすのは $a = 9$ のみである．

（i），（ii），（iii） より，条件を満たす $a$ の値は $a = -1, 0, 1, 9$ である．

解説

2次関数の最大・最小において，定義域が固定され，関数に文字が含まれている（軸が動く）典型的な問題である．下に凸の2次関数の最小値は，軸が「定義域の左外」「定義域の中」「定義域の右外」の3パターンで場合分けを行うことが定石である．各場合で方程式を解いて出てきた解が，設定した場合分けの条件（前提）を満たしているかの確認を忘れないように注意が必要である．

答え

$a = -1, 0, 1, 9$