トップ› 東京大学› 1987年› 文系第3問

東京大学 1987年文系第3問解説

方針・初手

$t$ の関数 $f(t)$ を $t$ についての2次以下の多項式とみなし、指定された区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ で常に $f(t) \geqq 0$ となるような $a, b$ の条件を求める。 $t^2$ の係数である $b$ の符号によって関数のグラフの凸性や最大・最小の振る舞いが変わるため、$b < 0$、$b = 0$、$b > 0$ の3つの場合に分けて最小値を計算するのが定石である。

解法1

$f(t) = 2bt^2 + 2at - b + 1$ とする。区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ のすべての $t$ に対して $f(t) \geqq 0$ となる条件を、$b$ の符号で場合分けして求める。

(i) $b < 0$ のとき

$f(t)$ は $t$ についての2次関数であり、グラフは上に凸である。区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ における最小値は、両端点のいずれか $f(-1)$ または $f(1)$ でとる。したがって、常に $f(t) \geqq 0$ となる条件は

$$ \begin{cases} f(-1) \geqq 0 \\ f(1) \geqq 0 \end{cases} $$

である。それぞれ計算すると

$$ f(-1) = 2b - 2a - b + 1 = -2a + b + 1 \geqq 0 \iff b \geqq 2a - 1 $$

$$ f(1) = 2b + 2a - b + 1 = 2a + b + 1 \geqq 0 \iff b \geqq -2a - 1 $$

$b < 0$ と合わせて、この場合の $(a, b)$ の条件は

$$ b \geqq 2a - 1 \quad \text{かつ} \quad b \geqq -2a - 1 \quad \text{かつ} \quad b < 0 $$

(ii) $b = 0$ のとき

$f(t) = 2at + 1$ となり、グラフは直線となる。最小値はやはり両端点のいずれかでとるため、条件は（i）と同様に $f(-1) \geqq 0$ かつ $f(1) \geqq 0$ となる。

$$ -2a + 1 \geqq 0 \iff a \leqq \frac{1}{2} $$

$$ 2a + 1 \geqq 0 \iff a \geqq -\frac{1}{2} $$

すなわち

$$ -\frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{1}{2} \quad \text{かつ} \quad b = 0 $$

(iii) $b > 0$ のとき

$f(t)$ のグラフは下に凸の放物線である。平方完成すると

$$ f(t) = 2b\left(t + \frac{a}{2b}\right)^2 - \frac{a^2}{2b} - b + 1 $$

軸の方程式は $t = -\frac{a}{2b}$ である。軸と区間 $[-1, 1]$ の位置関係でさらに場合分けする。

(ア) 軸が区間の左側にあるとき

$$ -\frac{a}{2b} < -1 \iff a > 2b $$

このとき、区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ で $f(t)$ は単調に増加するため、最小値は $f(-1)$ である。

$$ f(-1) \geqq 0 \iff b \geqq 2a - 1 $$

よって、条件は $a > 2b$ かつ $b \geqq 2a - 1$ である。

(イ) 軸が区間内にあるとき

$$ -1 \leqq -\frac{a}{2b} \leqq 1 \iff -2b \leqq a \leqq 2b $$

このとき、最小値は頂点においてとる。

$$ f\left(-\frac{a}{2b}\right) = -\frac{a^2}{2b} - b + 1 \geqq 0 $$

$2b > 0$ より両辺に $2b$ を掛けて整理すると

$$ -a^2 - 2b^2 + 2b \geqq 0 \iff a^2 + 2b^2 - 2b \leqq 0 $$

平方完成して

$$ a^2 + 2\left(b - \frac{1}{2}\right)^2 \leqq \frac{1}{2} $$

よって、条件は $-2b \leqq a \leqq 2b$ かつ $a^2 + 2b^2 - 2b \leqq 0$ である。

(ウ) 軸が区間の右側にあるとき

$$ -\frac{a}{2b} > 1 \iff a < -2b $$

このとき、区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ で $f(t)$ は単調に減少するため、最小値は $f(1)$ である。

$$ f(1) \geqq 0 \iff b \geqq -2a - 1 $$

よって、条件は $a < -2b$ かつ $b \geqq -2a - 1$ である。

以上の条件をまとめ、領域の境界線を調べる。直線 $b = 2a - 1$ と $a = 2b$ の交点は $(a, b) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ である。直線 $b = -2a - 1$ と $a = -2b$ の交点は $(a, b) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ である。楕円 $a^2 + 2b^2 - 2b = 0$ と直線 $a = 2b$ の交点は、

$$ (2b)^2 + 2b^2 - 2b = 0 \iff 6b^2 - 2b = 0 $$

$b > 0$ より $b = \frac{1}{3}$ であり、このとき $a = \frac{2}{3}$ となる。同様に、楕円と直線 $a = -2b$ の交点も $\left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ となる。したがって、各領域はこれらの点で滑らかに接続される。求める領域はこれらすべての和集合である。

解法2

包絡線の考え方を用いて、$(a, b)$ 平面上の領域の境界を直接捉える別解を示す。

不等式 $f(t) \geqq 0$ は次のように整理できる。

$$ 2ta + (2t^2 - 1)b + 1 \geqq 0 $$

この不等式がすべての $t \in [-1, 1]$ で成り立つということは、$(a, b)$ 平面上で $t$ を止めたときの半平面の共通部分を求めることと同値である。境界となる直線群を $L_t$ とする。

$$ L_t : 2ta + (2t^2 - 1)b + 1 = 0 $$

$L_t$ が動くときの包絡線（直線群が接する曲線）は、元の式と、それを $t$ で偏微分した式を連立して $t$ を消去することで得られる。 $t$ で偏微分すると

$$ 2a + 4tb = 0 \iff t = -\frac{a}{2b} \quad (b \neq 0) $$

これを $L_t$ の式に代入する。

$$ 2\left(-\frac{a}{2b}\right)a + \left(2\left(-\frac{a}{2b}\right)^2 - 1\right)b + 1 = 0 $$

整理すると

$$ -\frac{a^2}{b} + \frac{a^2}{2b} - b + 1 = 0 \iff -\frac{a^2}{2b} - b + 1 = 0 $$

両辺に $-2b$ を掛けると、包絡線の方程式として楕円が得られる。

$$ a^2 + 2b^2 - 2b = 0 $$

この包絡線が境界として現れるのは、接点となる $t$ が区間 $[-1, 1]$ 内にあるときである。すなわち、$-1 \leqq -\frac{a}{2b} \leqq 1 \iff -2b \leqq a \leqq 2b$ のとき、この楕円の一部が境界となる。

一方、$t$ が区間の両端 $t = -1, 1$ に達するときの直線も、領域の境界を構成する。

$$ t = -1 \text{ のとき } L_{-1} : -2a + b + 1 = 0 \iff b = 2a - 1 $$

$$ t = 1 \text{ のとき } L_{1} : 2a + b + 1 = 0 \iff b = -2a - 1 $$

これらが境界となるのは、包絡線の条件から外れる範囲である。これらの曲線を組み合わせることで、解法1と同じ領域の境界を簡潔に見出すことができる。

解説

$t$ の2次関数とみなして区間内の最小値を考える、という基本に忠実な解法（解法1）が最も確実である。軸の位置が区間の左・中・右のどこにあるかで場合分けする定石は、入試数学における最頻出テーマの1つである。境界線をつなぎ合わせる際、直線と楕円が点 $\left(\pm \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ でなめらかに（接線を共有して）つながることを確認すると、図示の自信につながる。解法2で示したような包絡線（ファクシミリの原理の応用や偏微分）の視点を持つと、見通しよく境界線を導出でき、検算としても強力である。