トップ› 東京大学› 2003年› 理系第1問

東京大学 2003年理系第1問解説

方針・初手

条件(A)から2次関数 $f(x)$ の係数 $b, c$ を $a$ を用いて表す。条件(B)は、$x$ についての2次不等式が指定された閉区間で常に成り立つ条件に帰着される。放物線の軸の位置や凸の向きで場合分けを行い、$a$ のとりうる値の範囲を求める。最後に、求めた $a$ の範囲において、積分 $I$ を $a$ の関数として表し、そのとりうる値の範囲を調べる。

解法1

$f(x) = ax^2 + bx + c$ とする。条件(A)より、$f(-1) = -1$ および $f(1) = 1$ であるから、

$$ \begin{cases} a - b + c = -1 \\ a + b + c = 1 \end{cases} $$

この連立方程式を解くと、$2b = 2$ より $b = 1$。また、$2a + 2c = 0$ より $c = -a$。よって、$f(x) = ax^2 + x - a$ と表せる。

次に、条件(B)について考える。 $-1 \leqq x \leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x) \leqq 3x^2 - 1$ が成り立つための条件を求める。 $ax^2 + x - a \leqq 3x^2 - 1$ より、

$$ (3-a)x^2 - x + a - 1 \geqq 0 $$

$g(x) = (3-a)x^2 - x + a - 1$ とおく。 $-1 \leqq x \leqq 1$ において常に $g(x) \geqq 0$ となるような $a$ の条件を調べる。区間の両端における値は、

$$ g(-1) = (3-a) + 1 + a - 1 = 3 \geqq 0 $$

$$ g(1) = (3-a) - 1 + a - 1 = 1 \geqq 0 $$

であり、端点では常に条件を満たしている。

(i)

$3 - a < 0$ すなわち $a > 3$ のとき

$y = g(x)$ のグラフは上に凸の放物線となる。区間の両端において $g(-1) \geqq 0$ かつ $g(1) \geqq 0$ であるため、$-1 \leqq x \leqq 1$ において最小値は $g(-1)$ または $g(1)$ となる。したがって、常に $g(x) \geqq 0$ が成り立つ。

(ii)

$3 - a = 0$ すなわち $a = 3$ のとき

$g(x) = -x + 2$ となる。 $-1 \leqq x \leqq 1$ において減少関数であり、最小値は $g(1) = 1 \geqq 0$ となるため、常に $g(x) \geqq 0$ が成り立つ。

(iii)

$3 - a > 0$ すなわち $a < 3$ のとき

$y = g(x)$ のグラフは下に凸の放物線となる。平方完成すると、

$$ g(x) = (3-a)\left(x - \frac{1}{2(3-a)}\right)^2 - \frac{1}{4(3-a)} + a - 1 $$

放物線の軸は直線 $x = \frac{1}{2(3-a)}$ である。ここで、$3 - a > 0$ より軸は常に $x > 0$ の範囲にある。区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ における最小値を考えるため、軸が区間内にあるか否かでさらに場合分けを行う。

（ア）軸が $x \leqq 1$ の範囲にあるとき

すなわち、$\frac{1}{2(3-a)} \leqq 1$ のとき、$2(3-a) \geqq 1$ より $2a \leqq 5$、よって $a \leqq \frac{5}{2}$ となる。このとき、$-1 \leqq x \leqq 1$ における $g(x)$ の最小値は頂点の $y$ 座標となる。条件を満たすためには、最小値が $0$ 以上であればよいので、

$$ -\frac{1}{4(3-a)} + a - 1 \geqq 0 $$

両辺に $4(3-a) > 0$ を掛けて整理すると、

$$ -1 + 4(a-1)(3-a) \geqq 0 $$

$$ -4a^2 + 16a - 13 \geqq 0 $$

$$ 4a^2 - 16a + 13 \leqq 0 $$

$4a^2 - 16a + 13 = 0$ を解くと、$a = \frac{8 \pm \sqrt{64-52}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{3}}{2}$ となるから、不等式の解は、

$$ \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \leqq a \leqq \frac{4 + \sqrt{3}}{2} $$

場合分けの条件 $a \leqq \frac{5}{2}$ との共通範囲を求める。 $1 < \sqrt{3} < 2$ であるため、$\frac{5}{2}$ と $\frac{4 + \sqrt{3}}{2}$ の大小を比較すると、$\frac{4 + \sqrt{3}}{2} > \frac{5}{2}$ である。したがって、共通範囲は、

$$ \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \leqq a \leqq \frac{5}{2} $$

（イ）軸が $x > 1$ の範囲にあるとき

すなわち、$\frac{1}{2(3-a)} > 1$ のとき、$a > \frac{5}{2}$ となる。$a < 3$ と合わせて $\frac{5}{2} < a < 3$ である。このとき、区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において $g(x)$ は単調減少となる。最小値は $g(1)$ であり、$g(1) = 1 \geqq 0$ であるため、常に条件を満たす。

（i）, （ii）, （iii）より、求める $a$ の範囲は、これらをすべて合わせたものになるため、

$$ a \geqq \frac{4 - \sqrt{3}}{2} $$

となる。（これは $\frac{4-\sqrt{3}}{2} > 0$ を満たすため、問題文の $a \neq 0$ の条件にも反しない）

最後に、積分 $I$ を計算する。 $f'(x) = 2ax + 1$ より、

$$ I = \int_{-1}^{1} (2ax + 1)^2 dx $$

$$ I = \int_{-1}^{1} (4a^2x^2 + 4ax + 1) dx $$

奇関数 $4ax$ の積分は $0$、偶関数 $4a^2x^2 + 1$ の積分は区間の半分の2倍となる性質を用いて、

$$ I = 2 \int_{0}^{1} (4a^2x^2 + 1) dx $$

$$ I = 2 \left[ \frac{4}{3}a^2x^3 + x \right]_{0}^{1} $$

$$ I = 2 \left( \frac{4}{3}a^2 + 1 \right) = \frac{8}{3}a^2 + 2 $$

求めた $a$ の範囲 $a \geqq \frac{4 - \sqrt{3}}{2} > 0$ において、$I$ は $a$ について単調増加である。したがって、$I$ の最小値は $a = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$ のときにとる。

$$ a^2 = \left( \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{16 - 8\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{19 - 8\sqrt{3}}{4} $$

これを $I$ の式に代入すると、

$$ I \geqq \frac{8}{3} \cdot \frac{19 - 8\sqrt{3}}{4} + 2 $$

$$ I \geqq \frac{38 - 16\sqrt{3}}{3} + \frac{6}{3} $$

$$ I \geqq \frac{44 - 16\sqrt{3}}{3} $$

以上より、$I$ のとりうる範囲が求まる。

解説

条件から文字を減らし、2次不等式が特定の区間で常に成り立つ条件（絶対不等式）に帰着させる典型問題である。放物線の軸が動くため、軸と区間の位置関係、さらに2次の係数の正負（上に凸か下に凸か、または1次関数か）によって丁寧に場合分けを行う必要がある。区間の両端での値が常に正であることが分かるため、場合分けの多くで条件が自然に満たされることに気づくと見通しが良くなる。最後は単調増加関数となるため、下限の代入だけで済む。