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東京大学 2003年文系第1問解説

方針・初手

与えられた条件 (A) の等式を用いて、関数 $f(x)$ の係数 $b, c$ を $a$ で表し、文字を減らす。その後、条件 (A) の不等式および条件 (B) を $a$ についての条件に翻訳し、$a$ のとりうる値の範囲を求める。最後に、積分 $I$ を計算して $a$ の式で表し、求めた $a$ の範囲における $I$ の最大値と最小値を調べる。

解法1

$f(x) = ax^2 + bx + c$ を微分すると、

$$ f'(x) = 2ax + b $$

条件 (A) より $f(-1) = -1, f(1) = 1$ であるから、

$$ \begin{aligned} a - b + c &= -1 \\ a + b + c &= 1 \end{aligned} $$

これらを連立して解くと、

$$ b = 1, \quad c = -a $$

よって、$f(x)$ と $f'(x)$ は次のように表せる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= ax^2 + x - a \\ f'(x) &= 2ax + 1 \end{aligned} $$

条件 (A) のもう一つの式 $f'(1) \leqq 6$ に代入すると、

$$ 2a + 1 \leqq 6 \iff a \leqq \frac{5}{2} $$

次に、条件 (B) を考える。$-1 \leqq x \leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し、$f(x) \leqq 3x^2 - 1$ が成り立つので、

$$ ax^2 + x - a \leqq 3x^2 - 1 $$

整理して、

$$ (3-a)x^2 - x + a - 1 \geqq 0 $$

ここで、$g(x) = (3-a)x^2 - x + a - 1$ とおく。 $a \leqq \frac{5}{2}$ であるから、 $3-a \geqq \frac{1}{2} > 0$ となり、$g(x)$ は下に凸の2次関数である。$g(x)$ を平方完成すると、

$$ g(x) = (3-a) \left( x - \frac{1}{2(3-a)} \right)^2 - \frac{1}{4(3-a)} + a - 1 $$

$g(x)$ の軸は直線 $x = \frac{1}{2(3-a)}$ である。 $3-a \geqq \frac{1}{2}$ より $0 < \frac{1}{2(3-a)} \leqq 1$ となるため、軸は区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ の内部に含まれる。したがって、区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ における $g(x)$ の最小値は頂点における値となる。条件を満たすためには、この最小値が $0$ 以上であればよい。

$$ - \frac{1}{4(3-a)} + a - 1 \geqq 0 $$

$3-a > 0$ であるから、両辺に $4(3-a)$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$ -1 + 4(a-1)(3-a) \geqq 0 $$

展開して整理すると、

$$ 4a^2 - 16a + 13 \leqq 0 $$

方程式 $4a^2 - 16a + 13 = 0$ の解は $a = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 208}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{3}}{2}$ であるから、不等式の解は

$$ \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \leqq a \leqq \frac{4 + \sqrt{3}}{2} $$

ここで、$\frac{4+\sqrt{3}}{2} - \frac{5}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} > 0$ より $\frac{4+\sqrt{3}}{2} > \frac{5}{2}$ であるから、$a \leqq \frac{5}{2}$ との共通範囲をとると、

$$ \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \leqq a \leqq \frac{5}{2} $$

（この範囲において $a > 0$ であり、$a \neq 0$ を満たす。）

続いて、積分 $I$ を計算する。

$$ \begin{aligned} I &= \int_{-1}^{1} (f'(x))^2 dx \\ &= \int_{-1}^{1} (2ax + 1)^2 dx \\ &= \int_{-1}^{1} (4a^2 x^2 + 4ax + 1) dx \\ &= 2 \int_{0}^{1} (4a^2 x^2 + 1) dx \\ &= 2 \left[ \frac{4}{3}a^2 x^3 + x \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{8}{3}a^2 + 2 \end{aligned} $$

$I = \frac{8}{3}a^2 + 2$ であり、$\frac{4 - \sqrt{3}}{2} \leqq a \leqq \frac{5}{2}$ の範囲で $a > 0$ であるため、$I$ は $a$ について単調増加する。

$a = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$I$ は最小値をとる。

$$ \begin{aligned} I &= \frac{8}{3} \left( \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \right)^2 + 2 \\ &= \frac{8}{3} \cdot \frac{19 - 8\sqrt{3}}{4} + 2 \\ &= \frac{38 - 16\sqrt{3}}{3} + \frac{6}{3} \\ &= \frac{44 - 16\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$

$a = \frac{5}{2}$ のとき、$I$ は最大値をとる。

$$ \begin{aligned} I &= \frac{8}{3} \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2 \\ &= \frac{8}{3} \cdot \frac{25}{4} + 2 \\ &= \frac{50}{3} + \frac{6}{3} \\ &= \frac{56}{3} \end{aligned} $$

したがって、$I$ の値のとりうる範囲が求まる。

解説

特定の区間で不等式が常に成り立つ条件（絶対不等式）を求める典型問題である。条件を整理して $x$ についての2次関数 $g(x) \geqq 0$ の形に帰着させた後、$a$ の値によってグラフの凸の向きや軸の位置がどうなるかを調べる必要がある。本問では、(A) の条件からあらかじめ $a \leqq \frac{5}{2}$ が得られているため、$g(x)$ が下に凸であること、および軸が区間 $[-1, 1]$ 内に収まることが一意に確定し、場合分けをせずに最小値の条件を立式できるのがポイントである。積分計算においては、積分区間が対称であることから、奇関数部分の積分が $0$ になる性質を活用すると計算ミスを防げる。