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東京大学 1987年文系第4問解説

方針・初手

与えられた条件式が $x, y, z$ について完全な対称式であることに着目する。空間全体を $x \geqq y \geqq z$ などの大小関係によって $3! = 6$ 個の合同な領域に分割し、そのうちの1つについて体積を計算してから $6$ 倍するアプローチが簡明である。大小関係を仮定することで、扱いにくい $\max(x,y,z)$ や $\min(x,y,z)$ を単なる変数に置き換えることができる。また、条件を整理し、立方体から条件を満たさない部分を切り落とす図形的な見方で解くことも可能である。

解法1

$x, y, z$ に関する条件は完全に対称であるから、領域 $R$ のうち

$$ x \geqq y \geqq z \geqq 0 $$

を満たす部分領域を $D$ とし、その体積 $V_D$ を求めて $6$ 倍すればよい。

領域 $D$ においては、

$$ \max(x,y,z) = x, \quad \min(x,y,z) = z $$

である。よって、与えられた不等式は次のように書き換えられる。

$$ x \leqq a $$

$$ x + y + z - z \leqq a + b \iff x + y \leqq a + b $$

これに大小関係の条件を合わせると、$D$ を表す連立不等式は

$$ 0 \leqq z \leqq y \leqq x \leqq a $$

$$ x + y \leqq a + b $$

となる。

$V_D$ を求めるために、まず $z$ について積分する。

$$ V_D = \iiint_D dx\,dy\,dz = \iint_{D_{xy}} \left( \int_0^y dz \right) dx\,dy = \iint_{D_{xy}} y \, dx\,dy $$

ここで、$xy$ 平面上の積分領域 $D_{xy}$ は

$$ 0 \leqq y \leqq x \leqq a $$

$$ y \leqq -x + a + b $$

を満たす領域である。 $x$ の積分範囲を定めるために、直線 $y = x$ と $y = -x + a + b$ の交点を求める。

$$ x = -x + a + b \iff x = \frac{a+b}{2} $$

ここで、問題の条件 $a > b > 0$ より、

$$ \frac{a+b}{2} < \frac{a+a}{2} = a $$

であるから、交点の $x$ 座標は $0$ と $a$ の間にある。したがって、$D_{xy}$ における上限の境界は $x = \frac{a+b}{2}$ を境に切り替わる。 (i)

$0 \leqq x \leqq \frac{a+b}{2}$ のとき：$0 \leqq y \leqq x$ (ii)

$\frac{a+b}{2} \leqq x \leqq a$ のとき：$0 \leqq y \leqq -x + a + b$

これより $V_D$ を計算する。

$$ V_D = \int_0^{\frac{a+b}{2}} \left( \int_0^x y \, dy \right) dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^a \left( \int_0^{-x+a+b} y \, dy \right) dx $$

それぞれの $y$ の積分を実行すると、

$$ V_D = \int_0^{\frac{a+b}{2}} \frac{1}{2}x^2 \, dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^a \frac{1}{2}(-x+a+b)^2 \, dx $$

次に $x$ で積分する。

$$ V_D = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\frac{a+b}{2}} + \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{3}(-x+a+b)^3 \right]_{\frac{a+b}{2}}^a $$

$$ = \frac{1}{6} \left( \frac{a+b}{2} \right)^3 + \frac{1}{6} \left\{ -b^3 + \left( \frac{a+b}{2} \right)^3 \right\} $$

$$ = \frac{1}{6} \left\{ 2 \cdot \frac{(a+b)^3}{8} - b^3 \right\} = \frac{(a+b)^3 - 4b^3}{24} $$

求める立体 $R$ の体積 $V$ は、$V_D$ の $6$ 倍であるから、

$$ V = 6 V_D = \frac{(a+b)^3 - 4b^3}{4} $$

解法2

条件の対称性から、元の条件は $\max, \min$ を用いずに次のように言い換えられる。

$$ 0 \leqq x \leqq a, \quad 0 \leqq y \leqq a, \quad 0 \leqq z \leqq a $$

$$ x+y \leqq a+b, \quad y+z \leqq a+b, \quad z+x \leqq a+b $$

この領域は、一辺の長さが $a$ の立方体（体積 $a^3$）から、以下の3つの条件のいずれかを満たす領域を取り除いたものである。

$$ A: x+y > a+b, \quad B: y+z > a+b, \quad C: z+x > a+b $$

取り除く領域の体積を包除原理を用いて計算する。

（i）各領域の体積領域 $A$ は立方体のうち $x+y > a+b$ を満たす部分である。 $z$ の範囲は $0 \leqq z \leqq a$ であり、底面の $xy$ 平面における面積は、直角を挟む2辺の長さが $a-b$ の直角二等辺三角形となるため $\frac{1}{2}(a-b)^2$ である。したがって、$A$ の体積 $V(A)$ は

$$ V(A) = \frac{1}{2}a(a-b)^2 $$

対称性より $V(B) = V(C) = \frac{1}{2}a(a-b)^2$ となる。

（ii） 2つの領域の共通部分の体積 $A \cap B$ は $x+y > a+b$ かつ $y+z > a+b$ を満たす。これを変形すると $x > a+b-y$ かつ $z > a+b-y$ であり、立方体内であるため $y$ の範囲は $b < y \leqq a$ となる。ある $y$ を固定したとき、$xz$ 平面での断面は一辺が $a - (a+b-y) = y-b$ の正方形となる。よって、$A \cap B$ の体積 $V(A \cap B)$ は

$$ V(A \cap B) = \int_b^a (y-b)^2 \, dy = \left[ \frac{1}{3}(y-b)^3 \right]_b^a = \frac{1}{3}(a-b)^3 $$

対称性より $V(B \cap C) = V(C \cap A) = \frac{1}{3}(a-b)^3$ である。

（iii） 3つの領域の共通部分の体積 $A \cap B \cap C$ は $x+y > a+b$, $y+z > a+b$, $z+x > a+b$ を満たす。ここで $x' = a-x, y' = a-y, z' = a-z$ と変数変換すると、求める領域は一辺が $a-b$ の立方体 $0 \leqq x', y', z' < a-b$ のうち、

$$ x'+y' < a-b, \quad y'+z' < a-b, \quad z'+x' < a-b $$

を満たす部分となる。この体積 $V(A \cap B \cap C)$ を求めるため、$x' \geqq y' \geqq z' \geqq 0$ の領域を考えて $6$ 倍する。このとき必要な条件は $x'+y' < a-b$ のみとなるため、解法1と同様の重積分に帰着でき、

$$ V(A \cap B \cap C) = 6 \int_0^{\frac{a-b}{2}} \left( \int_0^{x'} y' \, dy' \right) dx' + 6 \int_{\frac{a-b}{2}}^{a-b} \left( \int_0^{a-b-x'} y' \, dy' \right) dx' $$

これを計算すると、

$$ V(A \cap B \cap C) = 6 \left( \frac{(a-b)^3}{48} + \frac{(a-b)^3}{48} \right) = \frac{1}{4}(a-b)^3 $$

となる。

（iv）全体の体積以上より、取り除く部分の体積 $V_{ex}$ は包除原理より

$$ V_{ex} = 3 V(A) - 3 V(A \cap B) + V(A \cap B \cap C) $$

$$ = \frac{3}{2}a(a-b)^2 - (a-b)^3 + \frac{1}{4}(a-b)^3 $$

$$ = \frac{3}{2}a(a-b)^2 - \frac{3}{4}(a-b)^3 = \frac{3}{4}(a-b)^2 \{ 2a - (a-b) \} = \frac{3}{4}(a-b)^2 (a+b) $$

したがって、求める領域 $R$ の体積 $V$ は

$$ V = a^3 - V_{ex} = a^3 - \frac{3}{4}(a-b)^2 (a+b) $$

$$ = \frac{4a^3 - 3(a^2-2ab+b^2)(a+b)}{4} $$

$$ = \frac{4a^3 - 3(a^3 - a^2b - ab^2 + b^3)}{4} = \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 - 3b^3}{4} = \frac{(a+b)^3 - 4b^3}{4} $$

解説

最大値 $\max$ や最小値 $\min$ を含む方程式・不等式の問題は、「大小関係を仮定して場合分けする」のが最も確実な基本方針である。本問のように条件式が $x, y, z$ についての対称式になっている場合は、空間全体を $3! = 6$ 分割して $x \geqq y \geqq z \geqq 0$ の領域だけを考える手法が劇的に計算量を減らす。解法2のように包除原理を使う発想も有用だが、共通部分の体積を求める過程で空間認識力が必要になり、計算ミスも誘発しやすいため、解法1の対称性を利用した重積分が最も推奨される。