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東京大学 2011年文系第2問解説

方針・初手

(1) は数列の定義に従って $a_1, a_2$ と順に計算を行い、規則性を見出す。 (2) は「任意の自然数 $n$ に対して $a_n = a$」となる条件を考える。まずは $n=1, 2$ の場合に成り立つための必要条件から $a$ の値を絞り込み、その後に求めた $a$ がすべての $n$ で条件を満たすこと（十分性）を数学的帰納法などで確認する。

解法1

(1) $a = \sqrt{2}$ のとき、$1 < \sqrt{2} < 2$ であるから、$\sqrt{2}$ の整数部分は $1$ である。したがって、その小数部分は $\langle \sqrt{2} \rangle = \sqrt{2} - 1$ となる。数列の定義より、

$$ a_1 = \langle \sqrt{2} \rangle = \sqrt{2} - 1 $$

となる。ここで $a_1 \neq 0$ であるから、

$$ a_2 = \left\langle \frac{1}{a_1} \right\rangle = \left\langle \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \right\rangle = \langle \sqrt{2} + 1 \rangle $$

となる。$2 < \sqrt{2} + 1 < 3$ であるから、$\sqrt{2} + 1$ の整数部分は $2$ である。よって、その小数部分は $(\sqrt{2} + 1) - 2 = \sqrt{2} - 1$ となるため、

$$ a_2 = \sqrt{2} - 1 $$

である。以上より $a_2 = a_1$ となる。これ以降も $a_n \neq 0$ である限り、同様の計算により $a_{n+1} = a_n$ が繰り返される。ゆえに、任意の自然数 $n$ に対して、

$$ a_n = \sqrt{2} - 1 $$

となる。

(2) 任意の自然数 $n$ に対して $a_n = a$ となるような実数 $a \left(a \geqq \frac{1}{3}\right)$ を求める。まず $n=1$ のとき、$a_1 = a$ が成り立つ必要がある。定義より $a_1 = \langle a \rangle$ であるため、$a = \langle a \rangle$ となる。小数部分の定義から $0 \leqq \langle a \rangle < 1$ であるから、

$$ 0 \leqq a < 1 $$

となる。条件 $a \geqq \frac{1}{3}$ と合わせると、$\frac{1}{3} \leqq a < 1$ となり、$a \neq 0$ である。次に $n=2$ のとき、$a_2 = a$ が成り立つ必要がある。 $a_1 = a \neq 0$ であるから、

$$ a_2 = \left\langle \frac{1}{a_1} \right\rangle = \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle $$

となり、これが $a$ に等しいため、

$$ \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle = a $$

が成り立つ。これは $\frac{1}{a}$ の小数部分が $a$ であることを意味する。したがって、ある整数 $k$ を用いて、

$$ \frac{1}{a} = k + a $$

と表せる。これを変形すると、

$$ a^2 + ka - 1 = 0 $$

となる。ここで、$\frac{1}{3} \leqq a < 1$ であるから、逆数をとると $1 < \frac{1}{a} \leqq 3$ となる。 $k = \frac{1}{a} - a$ であるため、それぞれの不等式から $k$ のとり得る値の範囲を絞り込む。 $1 < \frac{1}{a} \leqq 3$ かつ $-1 < -a \leqq -\frac{1}{3}$ の辺々を加えると、

$$ 0 < \frac{1}{a} - a < \frac{8}{3} $$

すなわち $0 < k < \frac{8}{3}$ となる。 $k$ は整数であるから、$k = 1, 2$ のいずれかに限られる。

(i)

$k = 1$ のとき方程式は $a^2 + a - 1 = 0$ となる。 $a > 0$ であるから、解の公式より $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ である。 $2 < \sqrt{5} < 3$ より $\frac{1}{2} < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < 1$ となるため、これは $\frac{1}{3} \leqq a < 1$ を満たす。

(ii)

$k = 2$ のとき方程式は $a^2 + 2a - 1 = 0$ となる。 $a > 0$ であるから、解の公式より $a = -1 + \sqrt{2}$ である。 $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ より $0.4 < -1 + \sqrt{2} < 0.5$ であり、$\frac{1}{3} < 0.4$ であるため、これも $\frac{1}{3} \leqq a < 1$ を満たす。

よって、求める $a$ の候補は $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, -1 + \sqrt{2}$ である。最後に、これらの $a$ に対して、任意の自然数 $n$ で $a_n = a$ が成り立つこと（十分性）を数学的帰納法で示す。どちらの $a$ も $0 \leqq a < 1$ を満たすため $a_1 = \langle a \rangle = a$ となり、$n=1$ で成立する。ある自然数 $m$ に対して $a_m = a$ が成り立つと仮定する。 $a \neq 0$ であるから、

$$ a_{m+1} = \left\langle \frac{1}{a_m} \right\rangle = \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle = \langle k + a \rangle $$

ここで $k$ は整数であり、ある実数に整数を足してもその小数部分は変わらないため、

$$ \langle k + a \rangle = \langle a \rangle = a $$

となる。よって $n=m+1$ でも成り立つ。したがって、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ に対して $a_n = a$ が成り立つ。

解説

実数の整数部分と小数部分に関する典型的な問題である。(1) の具体的な計算を通じて、与えられた操作の規則性を掴むことが重要である。(2) では「すべての自然数で成り立つ」という条件を扱うため、まずは必要条件として $n=1, 2$ の場合で立式し、整数 $k$ の存在に帰着させて候補となる値を絞り込む手法が有効である。求めた値が実際にすべての $n$ で条件を満たすこと（十分性）の確認を忘れないように記述する必要がある。