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東京大学 2015年理系第4問解説

方針・初手

(1) は、示したい式を $A_n$ とおく。与えられた漸化式を $p_{n+2} p_n = p_{n+1}^2 + 1$ の形に変形し、$A_n$ および $A_{n+1}$ に代入することで、$A_{n+1} = A_n$ であることを示す。
(2) は、(1) の証明過程で得られる式と、定数となる具体的な値を利用して $p_{n+2}, p_{n+1}, p_n$ の関係式を作り、添え字を調整する。
(3) は、(2) で得られた隣接3項間漸化式と、数列 $\{q_n\}$ の定義式（フィボナッチ数列）を用いて、数学的帰納法により証明する。

解法1

(1)

与えられた漸化式 $p_{n+2} = \frac{p_{n+1}^2 + 1}{p_n}$ の両辺に $p_n$ を掛けると、

$$ p_{n+2} p_n = p_{n+1}^2 + 1 \quad \cdots ① $$

が成り立つ（ここで、$p_1 = 1, p_2 = 2$ であり、帰納的にすべての自然数 $n$ について $p_n > 0$ であるため、分母が $0$ になることはない）。

示したい式を $A_n = \frac{p_{n+1}^2 + p_n^2 + 1}{p_{n+1} p_n}$ とおく。分子の一部を①を用いて置き換えると、

$$ A_n = \frac{(p_{n+1}^2 + 1) + p_n^2}{p_{n+1} p_n} = \frac{p_{n+2} p_n + p_n^2}{p_{n+1} p_n} = \frac{p_n(p_{n+2} + p_n)}{p_{n+1} p_n} = \frac{p_{n+2} + p_n}{p_{n+1}} \quad \cdots ② $$

同様に、$n$ を $n+1$ に置き換えた $A_{n+1}$ を考え、分子の一部を①を用いて置き換えると、

$$ A_{n+1} = \frac{p_{n+2}^2 + p_{n+1}^2 + 1}{p_{n+2} p_{n+1}} = \frac{p_{n+2}^2 + (p_{n+1}^2 + 1)}{p_{n+2} p_{n+1}} = \frac{p_{n+2}^2 + p_{n+2} p_n}{p_{n+2} p_{n+1}} = \frac{p_{n+2}(p_{n+2} + p_n)}{p_{n+2} p_{n+1}} = \frac{p_{n+2} + p_n}{p_{n+1}} \quad \cdots ③ $$

②、③より、すべての自然数 $n$ において

$$ A_{n+1} = A_n $$

が成り立つ。したがって、数列 $\{A_n\}$ は定数数列であり、その値は $n$ によらない。

（証明終）

(2)

(1)より、$A_n$ は $n$ によらない定数であるから、その値は $n=1$ のときの値 $A_1$ に等しい。与えられた条件 $p_1 = 1, p_2 = 2$ を用いて $A_1$ を計算すると、

$$ A_1 = \frac{p_2^2 + p_1^2 + 1}{p_2 p_1} = \frac{2^2 + 1^2 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $$

したがって、すべての自然数 $n$ に対して $A_n = 3$ である。 (1) の式②より、$A_n = \frac{p_{n+2} + p_n}{p_{n+1}}$ であるから、

$$ \frac{p_{n+2} + p_n}{p_{n+1}} = 3 $$

分母を払うと、

$$ p_{n+2} + p_n = 3 p_{n+1} $$

この式の $n$ を $n-1$ に置き換えると（このとき $n \ge 2$ となる）、

$$ p_{n+1} + p_{n-1} = 3 p_n $$

を得る。

(3)

すべての自然数 $n$ に対して、$p_n = q_{2n-1}$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

(I) $n=1, 2$ のとき

$p_1 = 1$ であり、数列 $\{q_n\}$ の定義より $q_1 = 1$ であるから、$p_1 = q_{2 \cdot 1 - 1}$ が成立する。

$p_2 = 2$ であり、数列 $\{q_n\}$ の漸化式より $q_3 = q_2 + q_1 = 1 + 1 = 2$ であるから、$p_2 = q_{2 \cdot 2 - 1}$ が成立する。

(II) $n=k, k+1$ （$k \ge 1$）のとき成立すると仮定する

すなわち、

$$ p_k = q_{2k-1} $$

$$ p_{k+1} = q_{2k+1} $$

と仮定する。

$n=k+2$ のときを考える。(2) で求めた漸化式 $p_{m+2} = 3p_{m+1} - p_m$ を用いると、

$$ p_{k+2} = 3 p_{k+1} - p_k $$

帰納法の仮定を用いて右辺を書き換えると、

$$ p_{k+2} = 3 q_{2k+1} - q_{2k-1} \quad \cdots ④ $$

ここで、数列 $\{q_n\}$ の漸化式 $q_{m+2} = q_{m+1} + q_m$ を繰り返し用いて、$q_{2k+3}$ を $q_{2k+1}$ と $q_{2k-1}$ で表す。

$$ \begin{aligned} q_{2k+3} &= q_{2k+2} + q_{2k+1} \\ &= (q_{2k+1} + q_{2k}) + q_{2k+1} \\ &= 2 q_{2k+1} + q_{2k} \\ &= 2 q_{2k+1} + (q_{2k+1} - q_{2k-1}) \\ &= 3 q_{2k+1} - q_{2k-1} \end{aligned} $$

この結果と④より、

$$ p_{k+2} = q_{2k+3} = q_{2(k+2)-1} $$

となり、$n=k+2$ のときも成立することが示された。

(I), (II) より、すべての自然数 $n$ について $p_n = q_{2n-1}$ が成り立つ。

（証明終）

解説

非線形の漸化式から線形の隣接3項間漸化式を導出し、別の数列（フィボナッチ数列）との関係を証明する典型的な問題である。

(1) では分数の形をした式が定数になることを示す。直接定数であることを計算するのではなく、$A_{n+1}$ と $A_n$ をそれぞれ変形して同じ形になることを示すか、$A_{n+1} - A_n = 0$ を示すアプローチが有効である。問題文の漸化式を $p_{n+2} p_n = p_{n+1}^2 + 1$ の形にして代入するのがポイントである。

(2) は (1) の変形過程で現れる $\frac{p_{n+2} + p_n}{p_{n+1}}$ に着目すれば容易に導出できる。

(3) は隣接3項間漸化式を持つ数列が、別の数列の奇数番目の項と一致することを示す問題である。漸化式から $p_{k+2}$ を求めるために $p_{k+1}$ と $p_k$ の2つの情報が必要になるため、数学的帰納法において「$n=k, k+1$ のとき成立する」という2つの仮定が必要になることに注意して記述する。