東京大学 2012年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた条件式を満たす実数 $y$ が存在するための $x$ の条件を考える。方程式を $y$ についての2次方程式とみなし、実数解をもつ条件（判別式 $D \ge 0$）から $x$ のとりうる範囲を求めるのが定石である。

解法1

与えられた方程式 $2x^2 + 4xy + 3y^2 + 4x + 5y - 4 = 0$ を $y$ について整理すると、

$$ 3y^2 + (4x + 5)y + (2x^2 + 4x - 4) = 0 $$

となる。

実数 $x$ に対して、この方程式を満たす実数 $y$ が存在することが条件である。 この $y$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、実数解をもつための条件は $D \ge 0$ である。

$$ D = (4x + 5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2x^2 + 4x - 4) $$

$$ D = 16x^2 + 40x + 25 - 12(2x^2 + 4x - 4) $$

$$ D = 16x^2 + 40x + 25 - 24x^2 - 48x + 48 $$

$$ D = -8x^2 - 8x + 73 $$

$D \ge 0$ より、

$$ -8x^2 - 8x + 73 \ge 0 $$

$$ 8x^2 + 8x - 73 \le 0 $$

ここで、2次方程式 $8x^2 + 8x - 73 = 0$ を解くと、

$$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 8 \cdot (-73)}}{8} $$

$$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 584}}{8} $$

$$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{600}}{8} $$

$$ x = \frac{-4 \pm 10\sqrt{6}}{8} $$

$$ x = \frac{-2 \pm 5\sqrt{6}}{4} $$

したがって、不等式 $8x^2 + 8x - 73 \le 0$ の解、すなわち $x$ のとりうる範囲は、

$$ \frac{-2 - 5\sqrt{6}}{4} \le x \le \frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4} $$

となる。

よって、$x$ のとりうる最大の値は $\frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4}$ である。

解法2

図形的な視点から、曲線上の点で $x$ 座標が最大となる点における接線は $y$ 軸に平行になることを利用する。 与えられた方程式 $2x^2 + 4xy + 3y^2 + 4x + 5y - 4 = 0$ の両辺を $x$ で微分すると（$y$ を $x$ の関数とみて）、

$$ 4x + 4\left(y + x \frac{dy}{dx}\right) + 6y \frac{dy}{dx} + 4 + 5 \frac{dy}{dx} = 0 $$

整理して、

$$ (4x + 6y + 5)\frac{dy}{dx} = -(4x + 4y + 4) $$

$x$ が最大となる点では接線が $y$ 軸に平行になるため、この点においては $\frac{dy}{dx}$ が発散し、分母が $0$ となる。 したがって、

$$ 4x + 6y + 5 = 0 $$

これを $y$ について解くと、

$$ y = -\frac{4x + 5}{6} $$

これを元の条件式に代入して $y$ を消去する。

$$ 2x^2 + 4x\left(-\frac{4x + 5}{6}\right) + 3\left(-\frac{4x + 5}{6}\right)^2 + 4x + 5\left(-\frac{4x + 5}{6}\right) - 4 = 0 $$

両辺に $12$ を掛けて分母を払うと、

$$ 24x^2 - 8x(4x + 5) + (4x + 5)^2 + 48x - 10(4x + 5) - 48 = 0 $$

展開して整理する。

$$ 24x^2 - 32x^2 - 40x + 16x^2 + 40x + 25 + 48x - 40x - 50 - 48 = 0 $$

$$ (24 - 32 + 16)x^2 + (-40 + 40 + 48 - 40)x + (25 - 50 - 48) = 0 $$

$$ 8x^2 + 8x - 73 = 0 $$

これを解くと、

$$ x = \frac{-4 \pm 10\sqrt{6}}{8} = \frac{-2 \pm 5\sqrt{6}}{4} $$

これが接点における $x$ 座標であり、曲線上の $x$ の最大値および最小値の候補となる。 大きい方が最大値となるため、$x = \frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4}$ である。

解説

2変数 $x, y$ の2次方程式が与えられ、一方の文字の最大値や最小値、あるいはとりうる値の範囲を求める問題は、大学入試における頻出テーマである。

「実数 $(x, y)$ が存在する」という条件を、「$y$ についての2次方程式が実数解をもつ」と読み替え、判別式 $D \ge 0$ を用いるのが最も汎用性が高く確実な解法である（解法1）。この手法は「1文字固定法」や「逆像法」とも呼ばれ、軌跡や領域の問題でも強力な武器となる。

また、数学IIIを学習済みであれば、陰関数の微分を用いて、求める最大値が曲線の境界点（接線が座標軸に平行になる点）であることを利用するアプローチも可能である（解法2）。計算量は同程度になることが多いが、検算手段として複数の視点を持っておくことが望ましい。

答え

$$ \frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4} $$