東京大学 1983年 理系 第4問 解説

方針・初手

領域 $D$（$y \geqq x^2$）に含まれる正方形の条件を立式する。 正方形の向きは「各辺が座標軸と平行」と「各辺が座標軸と $45^\circ$ の角をなす」の2通りであるため、それぞれについて正方形が $D$ に完全に含まれるような「中心の $y$ 座標の最小値」を $t$ の関数として求める。 最後に、求めた2つの関数のうち小さい方を採用して全体としての最小値を決定する。正方形が $y \geqq x^2$ に含まれるための条件は、正方形の下半分の境界線が放物線 $y = x^2$ の上側（境界含む）にあることである。

解法1

正方形の中心を $(X, Y)$ とおく。放物線は $y$ 軸に関して対称であるから、$X \geqq 0$ の範囲で最小値を考えても一般性を失わない。

1. 各辺が座標軸と平行な正方形の場合 1辺の長さが $t$ であるから、正方形の下辺は線分 $y = Y - \frac{t}{2} \ \left(X - \frac{t}{2} \leqq x \leqq X + \frac{t}{2}\right)$ である。 これが $y = x^2$ の上側（または境界上）にある条件は、区間 $\left[X - \frac{t}{2}, X + \frac{t}{2}\right]$ における $x^2$ の最大値が $Y - \frac{t}{2}$ 以下であることである。 $X \geqq 0$ より、最大値は $x = X + \frac{t}{2}$ のときであり、条件は以下のようになる。

$$ \left( X + \frac{t}{2} \right)^2 \leqq Y - \frac{t}{2} \iff Y \geqq \left( X + \frac{t}{2} \right)^2 + \frac{t}{2} $$

$X \geqq 0$ の範囲で $Y$ を最小にするのは $X = 0$ のときであり、その最小値 $f_1(t)$ は

$$ f_1(t) = \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} $$

2. 各辺が座標軸と $45^\circ$ の角をなす正方形の場合 対角線の長さは $\sqrt{2}t$ である。正方形の境界のうち、下側の2辺の方程式は以下の通りである。

$$ \begin{aligned} y &= -(x - X) + Y - \frac{\sqrt{2}}{2}t \quad \left(X - \frac{\sqrt{2}}{2}t \leqq x \leqq X\right) \\ y &= (x - X) + Y - \frac{\sqrt{2}}{2}t \quad \left(X \leqq x \leqq X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right) \end{aligned} $$

これらが $y \geqq x^2$ を満たす条件を考える。 右下の辺が満たすべき条件は、

$$ x^2 \leqq x - X + Y - \frac{\sqrt{2}}{2}t \iff x^2 - x + X - Y + \frac{\sqrt{2}}{2}t \leqq 0 \quad \left(X \leqq x \leqq X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right) $$

左辺は $x$ について下に凸な2次関数であるため、閉区間で $0$ 以下となる条件は、区間の両端点で $0$ 以下となることである。

$$ \begin{cases} X^2 - X + X - Y + \frac{\sqrt{2}}{2}t \leqq 0 & (x = X \text{ のとき}) \\ \left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2 - \left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right) + X - Y + \frac{\sqrt{2}}{2}t \leqq 0 & \left(x = X + \frac{\sqrt{2}}{2}t \text{ のとき}\right) \end{cases} $$

整理すると、$Y \geqq X^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t$ かつ $Y \geqq \left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2$ となる。 左下の辺についても同様に両端点を調べると、$Y \geqq X^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t$ かつ $Y \geqq \left(X - \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2$ を得る。 $X \geqq 0$ において $\left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2 \geqq \left(X - \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2$ は常に成り立つため、$Y$ が満たすべき条件は以下のようになる。

$$ Y \geqq \max \left\{ X^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t, \ \left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2 \right\} $$

中括弧内の2式の大小を比較する。差をとると、

$$ \left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2 - \left(X^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right) = \sqrt{2}tX + \frac{t^2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}t = \sqrt{2}t \left( X - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}t \right) $$

(i) $t \geqq \sqrt{2}$ のとき $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}t \leqq 0$ であるため、$X \geqq 0$ において常に $\left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2 \geqq X^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t$ となる。 よって $Y \geqq \left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2$ であり、これを最小にするのは $X = 0$ のときで $Y = \frac{t^2}{2}$ である。

(ii) $0 < t < \sqrt{2}$ のとき $0 \leqq X \leqq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}t$ の範囲では $Y \geqq X^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t$ となり、単調増加。 $X \geqq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}t$ の範囲では $Y \geqq \left(X + \frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2$ となり、単調増加。 したがって、$X \geqq 0$ 全体での最小値は $X=0$ のときであり、$Y = \frac{\sqrt{2}}{2}t$ である。

以上より、$45^\circ$ 傾いた正方形の中心の $y$ 座標の最小値 $f_2(t)$ は以下のようになる。

$$ f_2(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2}}{2}t & (0 < t < \sqrt{2}) \\ \frac{t^2}{2} & (t \geqq \sqrt{2}) \end{cases} $$

3. 全体での最小値の決定 求める中心の $y$ 座標の最小値 $f(t)$ は、$f(t) = \min \{ f_1(t), f_2(t) \}$ である。

(ア) $0 < t < \sqrt{2}$ のとき

$$ f_1(t) - f_2(t) = \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}t = \frac{t}{4} \left\{ t - (2\sqrt{2} - 2) \right\} $$

$2\sqrt{2} - 2 \approx 0.828$ は $0$ と $\sqrt{2}$ の間にある。 $0 < t \leqq 2\sqrt{2} - 2$ のとき、$f_1(t) \leqq f_2(t)$ より $f(t) = \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2}$ $2\sqrt{2} - 2 \leqq t < \sqrt{2}$ のとき、$f_1(t) \geqq f_2(t)$ より $f(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}t$

(イ) $t \geqq \sqrt{2}$ のとき

$$ f_1(t) - f_2(t) = \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} - \frac{t^2}{2} = \frac{t}{4} ( 2 - t ) $$

$\sqrt{2} \leqq t \leqq 2$ のとき、$f_1(t) \geqq f_2(t)$ より $f(t) = \frac{t^2}{2}$ $t \geqq 2$ のとき、$f_1(t) \leqq f_2(t)$ より $f(t) = \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2}$

解説

図形が領域に含まれる条件を立式する典型的な問題である。「放物線が直線の下にある（折れ線が放物線の上にある）」という条件を、下に凸な2次関数が $0$ 以下になる条件へと帰着させ、最大値が区間の端点でとられる性質を利用するのがポイントである。グラフは各区間の関数をつなぎ合わせたものとなり、接続点 $t = 2\sqrt{2}-2, \sqrt{2}, 2$ では折れ曲がる（微分不可能である）ことに注意して描画する。

答え

求める最小値を $f(t)$ とすると、

$$ f(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} & (0 < t \leqq 2\sqrt{2} - 2) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}t & (2\sqrt{2} - 2 \leqq t \leqq \sqrt{2}) \\ \frac{t^2}{2} & (\sqrt{2} \leqq t \leqq 2) \\ \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} & (t \geqq 2) \end{cases} $$

グラフは上記の関数を描画したものであり、接続点は $(2\sqrt{2}-2, 2-\sqrt{2})$、$(\sqrt{2}, 1)$、$(2, 2)$ となる連続な曲線および線分である。