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東京大学 2014年文系第1問解説

方針・初手

(1)は $x$ についての2次関数であるため、平方完成を用いて最大値を求める。

(2)は(1)で求めた最大値 $g(t)$ を $t$ についての3次関数とみなし、微分法を用いて指定された定義域における増減を調べ、最小値を求める。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ について整理し、平方完成する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= -2x^2 + (8t - 12)x + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2x^2 + 4(2t - 3)x + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2 \{ x^2 - 2(2t - 3)x \} + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2 \{ x - (2t - 3) \}^2 + 2(2t - 3)^2 + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \end{aligned} $$

ここで、定数項部分を計算する。

$$ \begin{aligned} & 2(2t - 3)^2 + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= 2(4t^2 - 12t + 9) + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= 8t^2 - 24t + 18 + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= t^3 - 9t^2 + 15t \end{aligned} $$

したがって、$f(x)$ は $x = 2t - 3$ のとき、最大値 $t^3 - 9t^2 + 15t$ をとる。

(2)

(1)より、$g(t) = t^3 - 9t^2 + 15t$ である。これを $t$ で微分する。

$$ \begin{aligned} g'(t) &= 3t^2 - 18t + 15 \\ &= 3(t^2 - 6t + 5) \\ &= 3(t - 1)(t - 5) \end{aligned} $$

$g'(t) = 0$ となるのは、$t = 1, 5$ のときである。

$t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$5$	$\cdots$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(t)$		$\nearrow$	$7$	$\searrow$	$-25$	$\nearrow$

増減表より、$g(t)$ の最小値の候補は、区間の左端 $t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ における値と、極小値をとる $t = 5$ における値のいずれかである。

それぞれ計算すると、極小値は以下の通りである。

$$ g(5) = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 = 125 - 225 + 75 = -25 $$

また、$t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときの値は以下の通りである。

$$ \begin{aligned} g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 - 9\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{9}{2} - \frac{15}{\sqrt{2}} \\ &= -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{9}{2} - \frac{30\sqrt{2}}{4} \\ &= -\frac{9}{2} - \frac{31\sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

ここで、$g(5)$ と $g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ の大小を比較する。

$$ \begin{aligned} g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - g(5) &= -\frac{9}{2} - \frac{31\sqrt{2}}{4} - (-25) \\ &= \frac{41}{2} - \frac{31\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{82 - 31\sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

$82$ と $31\sqrt{2}$ の大小を比較するため、それぞれを2乗する。

$$ 82^2 = 6724 $$

$$ (31\sqrt{2})^2 = 31^2 \times 2 = 961 \times 2 = 1922 $$

$6724 > 1922$ であるから、$82 > 31\sqrt{2}$ が成り立つ。

したがって、$\frac{82 - 31\sqrt{2}}{4} > 0$ となり、$g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) > g(5)$ であることがわかる。

よって、$t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ における最小値は $-25$ である。