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九州大学 2003年文系第3問解説

方針・初手

$x$ の2次関数 $px - f(x)$ および、$p$ の2次関数 $xp - g(p)$ の最大値を求めるため、それぞれを平方完成して頂点の座標を調べる。関数が一致する条件は、すべての係数が等しくなることである。(3)の接線の条件については、点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を微分を用いて立て、それが直線 $y = px + q$ と一致するための係数比較を行い、問題文の条件式と同値であることを示す。

解法1

(1)

$f(x) = ax^2 + bx + c$ （$a > 0$）に対して、

$$ px - f(x) = px - (ax^2 + bx + c) = -ax^2 + (p-b)x - c $$

$a > 0$ であるから、この $x$ についての2次関数は上に凸であり、頂点で最大値をとる。平方完成すると、

$$ -ax^2 + (p-b)x - c = -a \left( x - \frac{p-b}{2a} \right)^2 + \frac{(p-b)^2}{4a} - c $$

となる。よって、最大値 $g(p)$ は、

$$ g(p) = \frac{(p-b)^2}{4a} - c = \frac{1}{4a} p^2 - \frac{b}{2a} p + \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$

である。2つの関数 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ が一致するとは、任意の変数に対して $f$ と $g$ が同じ形になるということであるから、$f(p) = ap^2 + bp + c$ と $g(p)$ の各次数の係数が等しくなければならない。

$$ \begin{cases} a = \frac{1}{4a} \\ b = -\frac{b}{2a} \\ c = \frac{b^2 - 4ac}{4a} \end{cases} $$

第1式より $4a^2 = 1$ となり、$a > 0$ であるから $a = \frac{1}{2}$ である。

これを第2式に代入すると $b = -b$ となり、$b = 0$ を得る。

さらに $a = \frac{1}{2}, b = 0$ を第3式に代入すると、

$$ c = \frac{0 - 2c}{2} = -c $$

となり、$2c = 0$ より $c = 0$ である。

以上より、求める関数は、

$$ f(x) = \frac{1}{2} x^2 $$

(2)

(1) で求めた $g(p)$ を用いて、$xp - g(p)$ を $p$ の関数として整理する。

$$ xp - g(p) = xp - \left( \frac{1}{4a} p^2 - \frac{b}{2a} p + \frac{b^2 - 4ac}{4a} \right) = -\frac{1}{4a} p^2 + \left( x + \frac{b}{2a} \right) p - \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$

$a > 0$ より、この $p$ についての2次関数も上に凸であり、頂点で最大値をとる。平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} xp - g(p) &= -\frac{1}{4a} \left\{ p^2 - 4a \left( x + \frac{b}{2a} \right) p \right\} - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\ &= -\frac{1}{4a} \left\{ p - 2a \left( x + \frac{b}{2a} \right) \right\}^2 + \frac{1}{4a} \cdot 4a^2 \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\ &= -\frac{1}{4a} \{ p - (2ax + b) \}^2 + a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= -\frac{1}{4a} \{ p - (2ax + b) \}^2 + a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4a^2} \right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= -\frac{1}{4a} \{ p - (2ax + b) \}^2 + ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= -\frac{1}{4a} \{ p - (2ax + b) \}^2 + ax^2 + bx + c \end{aligned} $$

したがって、$p = 2ax + b$ のとき最大となり、最大値 $h(x)$ は、

$$ h(x) = ax^2 + bx + c = f(x) $$

(3)

直線 $y = px + q$ が点 $(t, f(t))$ で $y = f(x)$ のグラフに接するための必要十分条件を求める。

$f'(x) = 2ax + b$ であるから、点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$$ y - f(t) = (2at + b)(x - t) $$

すなわち、

$$ y = (2at + b)x - (2at + b)t + f(t) $$

である。この直線が $y = px + q$ と一致するための必要十分条件は、傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しいことである。

$$ \begin{cases} p = 2at + b \\ q = -pt + f(t) \end{cases} $$

ここで、示したい条件の左半分 $g(p) = pt - f(t)$ について考える。(1) より $g(p) = \frac{(p-b)^2}{4a} - c$ であり、$f(t) = at^2 + bt + c$ であるから、

$$ \begin{aligned} g(p) = pt - f(t) &\iff \frac{(p-b)^2}{4a} - c = pt - (at^2 + bt + c) \\ &\iff \frac{(p-b)^2}{4a} = -at^2 + (p-b)t \\ &\iff at^2 - (p-b)t + \frac{(p-b)^2}{4a} = 0 \\ &\iff a \left( t - \frac{p-b}{2a} \right)^2 = 0 \end{aligned} $$

$a > 0$ であるから、これは $t = \frac{p-b}{2a}$、すなわち $p = 2at + b$ と同値である。

したがって、$g(p) = pt - f(t)$ は、接線の傾きが $p$ であるための必要十分条件となっている。

さらに、この条件 $g(p) = pt - f(t)$ が成り立つとき、示したい条件の右半分 $q = -g(p)$ は、

$$ q = -(pt - f(t)) = -pt + f(t) $$

となり、これは接線の $y$ 切片が一致するための条件と同値である。

以上より、直線 $y = px + q$ が点 $(t, f(t))$ で $y = f(x)$ のグラフに接するための必要十分条件は、

$$ g(p) = pt - f(t) \quad \text{かつ} \quad q = -g(p) $$

であることが示された。

解説

本問は、解析力学や熱力学などで重要な「ルジャンドル変換」を背景とする問題である。ルジャンドル変換とは、元の関数 $f(x)$ の独立変数を $x$ から接線の傾き $p$ に変換し、新しい関数 $g(p) = \max_x \{px - f(x)\}$ を構成する操作である。

(1) では、ルジャンドル変換を行っても関数の形が変わらない（自己双対性を持つ）ような2次関数を特定している。

(2) の結果 $h(x) = f(x)$ は、ルジャンドル変換を2回行うと元の関数に戻るという重要な性質（対合性）を示している。計算上は文字が入れ替わっただけの同様の平方完成を行うことで確認できる。

(3) は、ルジャンドル変換の幾何学的な意味を問うている。関数 $y=f(x)$ の接線を $y=px+q$ とすると、接線の $y$ 切片 $q$ は $q = f(x) - px$ と表せる。$-q = px - f(x)$ を最大化する $x$ （すなわち接点 $t$）において、その最大値が $g(p)$ と定義されている構造を数式で追認させる内容となっている。