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北海道大学 2005年文系第2問解説

方針・初手

(1) は、与えられた2次方程式が実数係数であるため、虚数解をもつ条件として判別式 $D < 0$ を用いる。

(2) は、被積分関数を $x$ で積分して $F(k)$ を $k$ の関数として具体的に求める。その後、(1) で求めた $k$ の定義域において、微分法を用いて増減を調べ、最大値および最小値を求める。

解法1

(1)

2次方程式 $x^2 - 2kx - 3k^2 + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、この方程式が虚数解をもつための条件は $D < 0$ である。

$$ \frac{D}{4} = (-k)^2 - 1 \cdot (-3k^2 + 1) = 4k^2 - 1 $$

$4k^2 - 1 < 0$ を解くと、

$$ (2k + 1)(2k - 1) < 0 $$

したがって、求める $k$ の値の範囲は、

$$ -\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2} $$

(2)

$F(k)$ の定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} F(k) &= \int_0^k (x^2 - 2kx - 3k^2 + 1) dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - kx^2 + (-3k^2 + 1)x \right]_0^k \\ &= \frac{1}{3}k^3 - k(k^2) + (-3k^2 + 1)k \\ &= \frac{1}{3}k^3 - k^3 - 3k^3 + k \\ &= -\frac{11}{3}k^3 + k \end{aligned} $$

$F(k)$ を $k$ で微分する。

$$ F'(k) = -11k^2 + 1 $$

$F'(k) = 0$ となる $k$ の値は、

$$ 11k^2 = 1 $$

$$ k = \pm\frac{1}{\sqrt{11}} = \pm\frac{\sqrt{11}}{11} $$

ここで、$3 < \sqrt{11} < 4$ であるから、$\frac{3}{11} < \frac{\sqrt{11}}{11} < \frac{4}{11}$ となり、$\pm\frac{\sqrt{11}}{11}$ は (1) で求めた範囲 $-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ に含まれる。

$-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ における $F(k)$ の増減表は次のようになる。

$k$	$\left(-\frac{1}{2}\right)$	$\cdots$	$-\frac{\sqrt{11}}{11}$	$\cdots$	$\frac{\sqrt{11}}{11}$	$\cdots$	$\left(\frac{1}{2}\right)$
$F'(k)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$F(k)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$F(k)$ は $k = \frac{\sqrt{11}}{11}$ で最大、$k = -\frac{\sqrt{11}}{11}$ で最小となる。

最大値を計算する。

$$ \begin{aligned} F\left(\frac{\sqrt{11}}{11}\right) &= \frac{\sqrt{11}}{11} \left\{ -\frac{11}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{11}}{11}\right)^2 + 1 \right\} \\ &= \frac{\sqrt{11}}{11} \left( -\frac{11}{3} \cdot \frac{1}{11} + 1 \right) \\ &= \frac{\sqrt{11}}{11} \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) \\ &= \frac{\sqrt{11}}{11} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{2\sqrt{11}}{33} \end{aligned} $$

最小値を計算する。$F(k)$ は奇関数であるため、$F(-k) = -F(k)$ が成り立つことを利用する。

$$ F\left(-\frac{\sqrt{11}}{11}\right) = -F\left(\frac{\sqrt{11}}{11}\right) = -\frac{2\sqrt{11}}{33} $$