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東京大学 2018年文系第2問解説

方針・初手

(1)は定義に従って直接計算し、1と大小を比較する。(2)は階乗を含む数列の比の計算を行う定石通りの処理である。(3)は、(2)で求めた比が $1$ より小さくなる条件を利用して数列 $a_n$ が単調に減少し $1$ より小さくなる範囲を特定し、整数になる可能性がある $n$ を絞り込んでから個別に調べる。

解法1

(1) $a_n = \frac{{}_{2n}C_n}{n!} = \frac{(2n)!}{(n!)^3}$ である。 $n=7$ を代入すると、

$$ a_7 = \frac{{}_{14}C_7}{7!} = \frac{1}{7!} \cdot \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} $$

ここで、${}_{14}C_7$ を計算する。

$$ {}_{14}C_7 = 2 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 3432 $$

また、$7! = 5040$ であるから、

$$ a_7 = \frac{3432}{5040} = \frac{143}{210} $$

$143 < 210$ より、$a_7 < 1$ である。

(2) $n \geqq 2$ のとき、

$$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{\frac{(2n)!}{(n!)^3}}{\frac{(2n-2)!}{\{(n-1)!\}^3}} = \frac{(2n)!}{(2n-2)!} \cdot \left\{ \frac{(n-1)!}{n!} \right\}^3 $$

$$ = \frac{2n(2n-1)}{n^3} = \frac{2(2n-1)}{n^2} = \frac{4n-2}{n^2} $$

$\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$ となるとき、

$$ \frac{4n-2}{n^2} < 1 $$

$n \geqq 2$ より $n^2 > 0$ であるから、両辺に $n^2$ を掛けて整理すると、

$$ n^2 - 4n + 2 > 0 $$

方程式 $n^2 - 4n + 2 = 0$ の解は $n = 2 \pm \sqrt{2}$ であり、$2+\sqrt{2} \approx 3.41$ である。 $n$ は $n \geqq 2$ を満たす整数であるから、求める範囲は

$$ n \geqq 4 $$

(3) (2) の結果より、$n \geqq 4$ のとき $\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$、すなわち $a_n < a_{n-1}$ が成り立つ。したがって、数列 $\{a_n\}$ は $n \geqq 3$ において単調に減少する。 (1) より $a_7 = \frac{143}{210} < 1$ であるから、$n \geqq 7$ のとき、つねに

$$ 0 < a_n \leqq a_7 < 1 $$

となり、$a_n$ は整数にはならない。よって、$a_n$ が整数となる可能性があるのは $n=1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかである。順に計算して調べる。

$a_1 = \frac{{}_2C_1}{1!} = 2$ （整数）

$a_2 = \frac{{}_4C_2}{2!} = \frac{6}{2} = 3$ （整数）

$a_3 = a_2 \times \frac{4 \cdot 3 - 2}{3^2} = 3 \times \frac{10}{9} = \frac{10}{3}$ （非整数）

$a_4 = a_3 \times \frac{4 \cdot 4 - 2}{4^2} = \frac{10}{3} \times \frac{14}{16} = \frac{35}{12}$ （非整数）

$a_5 = a_4 \times \frac{4 \cdot 5 - 2}{5^2} = \frac{35}{12} \times \frac{18}{25} = \frac{21}{10}$ （非整数）

$a_6 = a_5 \times \frac{4 \cdot 6 - 2}{6^2} = \frac{21}{10} \times \frac{22}{36} = \frac{77}{60}$ （非整数）

以上より、$a_n$ が整数となる $n$ は $n=1, 2$ のみである。

解説

階乗や二項係数を含む数列の増減を調べる際に、隣接2項間の比 $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ を計算して $1$ と比較する手法は極めて典型的である。本問は(2)でその誘導が明示されており、(3)でそれを利用して数列が $1$ 未満になる範囲を特定し、しらみつぶしに調べる有限個の候補を絞り込むという構成になっている。 (1)の計算はそのまま行うこともできるが、(2)の漸化式 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{4n-2}{n^2}$ を先に求めておき、$a_1$ から順次掛け算を行って $a_7$ を求める方針をとってもよい。