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東京大学 2018年理系第2問解説

方針・初手

(1) 階乗の定義に従って $a_n$ と $a_{n-1}$ を書き下し、比を計算する。得られた分数が既約であることを示すために、分子と分母が互いに素である（最大公約数が1である）ことを証明する。

(2)

$a_n$ が整数であるためには、既約分数で表したときの分母が 1 でなければならない。素因数 2 に着目し、有理数 $a_n$ に含まれる素因数 2 の指数を $v_2(a_n)$ として、(1) の漸化式から数列 $\{v_2(a_n)\}$ の単調性を調べる。

解法1

(1)

$n \geqq 2$ のとき、

$$ a_n = \frac{_{2n+1}\text{C}_n}{n!} = \frac{(2n+1)!}{n! n! (n+1)!} $$

$$ a_{n-1} = \frac{_{2n-1}\text{C}_{n-1}}{(n-1)!} = \frac{(2n-1)!}{(n-1)! (n-1)! n!} $$

これより比をとると、

$$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{(2n+1)!}{n! n! (n+1)!} \cdot \frac{(n-1)! (n-1)! n!}{(2n-1)!} $$

$$ = \frac{(2n+1)(2n)}{n \cdot n(n+1)} $$

$$ = \frac{2(2n+1)}{n(n+1)} $$

これを既約分数で表すことを考える。分母 $n(n+1)$ は連続する2つの整数の積であるから必ず偶数であり、分子 $2(2n+1)$ も偶数である。よって分母と分子をそれぞれ 2 で割ると、

$$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)}{2}} $$

ここで、分子 $2n+1$ と分母 $\frac{n(n+1)}{2}$ が互いに素であることを示す。ある素数 $p$ が $2n+1$ と $\frac{n(n+1)}{2}$ の公約数であると仮定する。 $2n+1$ は奇数であるから、$p$ は奇素数である。 $p$ は $\frac{n(n+1)}{2}$ の約数であるから、$n(n+1)$ の約数でもあり、素数であることから $n$ または $n+1$ を割り切る。

(i)

$p$ が $n$ を割り切るとき $p$ は $2n+1$ も割り切るので、その差 $(2n+1) - 2n = 1$ も割り切ることになり矛盾する。

(ii)

$p$ が $n+1$ を割り切るとき $p$ は $2n+1$ も割り切るので、その差 $2(n+1) - (2n+1) = 1$ も割り切ることになり矛盾する。

したがって、公約数となる素数 $p$ は存在せず、$2n+1$ と $\frac{n(n+1)}{2}$ は互いに素である。以上より、$\frac{a_n}{a_{n-1}}$ の既約分数は $\frac{2n+1}{\frac{n(n+1)}{2}}$ であるから、

$$ p_n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad q_n = 2n+1 $$

(2)

0でない有理数 $r$ に対して、$r$ を素因数分解したときの素因数 2 の指数を $v_2(r)$ とする。$r$ が整数であるためには、$v_2(r) \geqq 0$ であることが必要である。 (1) の結果より、$n \geqq 2$ において以下の関係式が成り立つ。

$$ a_n = \frac{2(2n+1)}{n(n+1)} a_{n-1} $$

両辺の素因数 2 の指数を比較すると、

$$ v_2(a_n) = v_2\left( \frac{2(2n+1)}{n(n+1)} \right) + v_2(a_{n-1}) $$

$$ v_2(a_n) - v_2(a_{n-1}) = v_2(2) + v_2(2n+1) - v_2(n(n+1)) $$

$2n+1$ は奇数であるから $v_2(2n+1) = 0$ である。また、$n$ と $n+1$ は連続する整数であるため、一方は奇数、もう一方は偶数である。その偶数である方を $2m$ （$m$ は正の整数）とすると、

$$ v_2(n(n+1)) = v_2(2m) = v_2(2) + v_2(m) = 1 + v_2(m) $$

これらを代入すると、

$$ v_2(a_n) - v_2(a_{n-1}) = 1 + 0 - (1 + v_2(m)) = -v_2(m) $$

$m$ は正の整数であるから $v_2(m) \geqq 0$ であり、

$$ v_2(a_n) - v_2(a_{n-1}) \leqq 0 $$

すなわち、数列 $\{ v_2(a_n) \}$ は単調非増加である。初めの数項について調べると、

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{_3\text{C}_1}{1!} = 3$ より、$v_2(a_1) = 0$。（$a_1$ は整数）

$n=2$ のとき、$a_2 = \frac{_5\text{C}_2}{2!} = 5$ より、$v_2(a_2) = 0$。（$a_2$ は整数）

$n=3$ のとき、$a_3 = \frac{2(7)}{3(4)} a_2 = \frac{35}{6}$ より、$v_2(a_3) = -1$。

数列 $\{ v_2(a_n) \}$ が単調非増加であることから、$n \geqq 3$ のとき常に、

$$ v_2(a_n) \leqq v_2(a_3) = -1 < 0 $$

が成り立つ。 $v_2(a_n) < 0$ は、$a_n$ を既約分数で表したときに分母が偶数になることを意味するため、$n \geqq 3$ において $a_n$ は決して整数にならない。よって、$a_n$ が整数となる $n \geqq 1$ は $n=1, 2$ のみである。

解説

(1) では、既約分数であることを示すために「最大公約数が1である（互いに素である）こと」を証明する。背理法やユークリッドの互除法の原理を用いて、差をとって公約数を絞り込むのが典型的な手法である。
(2) は、階乗の商で表される数列が整数になる条件を問う難問である。有理数が整数になるための必要条件として「分母に素因数が含まれないこと」に帰着させ、素因数 2 に着目して漸化式から指数を追跡する発想が鮮やかである。
階乗と素因数に関する問題では、ルジャンドルの定理を用いて特定の素因数の個数を直接評価する手法もよく用いられるが、本問は (1) の漸化式を利用する方が計算量も少なく簡潔に論証できる。