東京大学 2018年 文系 第1問 解説

方針・初手

(1) まず原点を通る2直線 $l, m$ の方程式を、放物線 $C$ と接する条件から求める。放物線上の点 $A$ を媒介変数を用いて表し、直線との距離 $L, M$ を計算することで $\sqrt{L}+\sqrt{M}$ を1変数の関数として表す。この関数の最小値を絶対値の性質に注意しながら調べる。 (2) 領域 $D$ 内の任意の点 $(x, y)$ で不等式 $px + qy \leqq 0$ が成り立つ条件を考える。$y$ の係数である $q$ の符号によって場合分けを行い、領域全体が直線の上下どちらにあるべきかを考察する。

解法1

(1)

原点を通る直線の方程式を $y=kx$ とおく。これが放物線 $C: y = x^2 - 3x + 4$ に接するための条件は、$x$ の2次方程式

$$ x^2 - 3x + 4 = kx $$

$$ x^2 - (k+3)x + 4 = 0 $$

が重解をもつことである。この2次方程式の判別式を $\Delta$ とすると、$\Delta = 0$ より

$$ \Delta = (k+3)^2 - 16 = 0 $$

$$ (k+3)^2 = 16 $$

$$ k+3 = \pm 4 $$

$$ k = 1, -7 $$

よって、接する2直線 $l, m$ の方程式は $y=x$ と $y=-7x$ である。一般性を失わず、

$$ l: x - y = 0 $$

$$ m: 7x + y = 0 $$

とする。

放物線 $C$ 上の点 $A$ は、実数 $t$ を用いて $A(t, t^2 - 3t + 4)$ と表せる。 点 $A$ と直線 $l$ の距離 $L$ は

$$ L = \frac{|t - (t^2 - 3t + 4)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-t^2 + 4t - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{(t-2)^2}{\sqrt{2}} $$

点 $A$ と直線 $m$ の距離 $M$ は

$$ M = \frac{|7t + (t^2 - 3t + 4)|}{\sqrt{7^2 + 1^2}} = \frac{|t^2 + 4t + 4|}{\sqrt{50}} = \frac{(t+2)^2}{5\sqrt{2}} $$

これらより、それぞれの平方根は

$$ \sqrt{L} = \frac{|t-2|}{\sqrt[4]{2}} $$

$$ \sqrt{M} = \frac{|t+2|}{\sqrt{5}\sqrt[4]{2}} $$

となる。ここで、$\sqrt{L} + \sqrt{M}$ の最小値を考えるため、全体に定数 $\sqrt[4]{2}$ を掛けた関数 $f(t)$ を次のように定める。

$$ f(t) = \sqrt[4]{2} \left( \sqrt{L} + \sqrt{M} \right) = |t-2| + \frac{1}{\sqrt{5}}|t+2| $$

絶対値の中身の符号が変わる $t = 2, -2$ を境界として場合分けを行う。

(i)

$t \geqq 2$ のとき

$$ f(t) = (t-2) + \frac{1}{\sqrt{5}}(t+2) = \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)t - 2 + \frac{2}{\sqrt{5}} $$

$1 + \frac{1}{\sqrt{5}} > 0$ であるため、この区間で $f(t)$ は単調増加する。

(ii)

$-2 \leqq t < 2$ のとき

$$ f(t) = -(t-2) + \frac{1}{\sqrt{5}}(t+2) = \left( -1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)t + 2 + \frac{2}{\sqrt{5}} $$

$-1 + \frac{1}{\sqrt{5}} < 0$ であるため、この区間で $f(t)$ は単調減少する。

(iii)

$t < -2$ のとき

$$ f(t) = -(t-2) - \frac{1}{\sqrt{5}}(t+2) = \left( -1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)t + 2 - \frac{2}{\sqrt{5}} $$

$-1 - \frac{1}{\sqrt{5}} < 0$ であるため、この区間で $f(t)$ は単調減少する。

以上より、$f(t)$ は $t < 2$ の範囲で単調に減少し、$t \geqq 2$ の範囲で単調に増加する。したがって、$f(t)$ は $t=2$ のとき最小値をとる。 $\sqrt{L} + \sqrt{M}$ も同様に $t=2$ のとき最小となる。 $t=2$ のとき、点 $A$ の $y$ 座標は $2^2 - 3 \cdot 2 + 4 = 2$ である。 よって、求める点 $A$ の座標は $(2, 2)$ である。

(2)

領域 $D$ は不等式 $y \geqq x^2 - 3x + 4$ で表される。 $D$ のすべての点 $(x, y)$ に対して不等式 $px + qy \leqq 0$、すなわち $qy \leqq -px$ が成り立つ条件を $q$ の値で場合分けする。

(i)

$q > 0$ のとき

与えられた不等式は $y \leqq -\frac{p}{q}x$ となる。 領域 $D$ では、任意の $x$ に対して $y$ はいくらでも大きな値をとることができるため、領域 $D$ 全体が直線 $y = -\frac{p}{q}x$ の下側に含まれることはない。よって不適である。

(ii)

$q = 0$ のとき

与えられた不等式は $px \leqq 0$ となる。 領域 $D$ にはすべての実数 $x$ に対する点 $(x, y)$ が存在する。すべての $x$ に対して $px \leqq 0$ が成り立つ条件は $p=0$ である。 このとき不等式は $0 \leqq 0$ となり常に成り立つため、$(p, q) = (0, 0)$ は条件を満たす。

(iii)

$q < 0$ のとき

与えられた不等式は $y \geqq -\frac{p}{q}x$ となる。 これが領域 $D$ 内のすべての点 $(x, y)$ で成り立つ条件は、領域 $D$ の境界である放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ が直線 $y = -\frac{p}{q}x$ の上側（境界含む）にあることである。 すなわち、すべての実数 $x$ に対して

$$ x^2 - 3x + 4 \geqq -\frac{p}{q}x $$

$$ x^2 + \left( \frac{p}{q} - 3 \right)x + 4 \geqq 0 $$

が成り立つことである。この $x$ についての2次関数の判別式を $D_1$ とすると、$D_1 \leqq 0$ が条件となる。

$$ D_1 = \left( \frac{p}{q} - 3 \right)^2 - 16 \leqq 0 $$

$$ \left( \frac{p}{q} - 3 \right)^2 \leqq 16 $$

$$ -4 \leqq \frac{p}{q} - 3 \leqq 4 $$

$$ -1 \leqq \frac{p}{q} \leqq 7 $$

ここで $q < 0$ より、各辺に負の数 $q$ を掛けると不等号の向きが反転する。

$$ -q \geqq p \geqq 7q $$

すなわち

$$ 7q \leqq p \leqq -q $$

以上より、求める条件は $q \leqq 0$ かつ $7q \leqq p \leqq -q$ となる。これは （ii） の $(p, q) = (0, 0)$ の場合も含む。 この領域を $pq$ 平面に図示すると、原点を交点とする2直線 $q = \frac{1}{7}p$ と $q = -p$ によって分割される領域のうち、下側の領域（境界線を含む）となる。

解説

(1) では、2次関数上の点と接線との距離を求める過程で、絶対値の和の最小値を求める問題に帰着する。平方根の和であることから一見複雑に見えるが、絶対値の和が折れ線のグラフになるという基本性質を理解していれば、数式の増減を的確に把握できる。 (2) は「すべての点において成り立つ」という全称命題の処理である。不等式の両辺を $q$ で割る際に $q$ の符号による場合分けが必要になる点が最大のポイントである。「領域がある直線の片側に収まる」という図形的な意味への翻訳ができれば、判別式を用いた標準的な計算に持ち込むことができる。

答え

(1)

点 $A$ の座標は $(2, 2)$

(2)

点 $P(p, q)$ の動きうる範囲は、不等式 $7q \leqq p \leqq -q$ （および $q \leqq 0$）で表される領域である。 図示すると、$pq$ 座標平面上において、2直線 $q = \frac{1}{7}p$ および $q = -p$ と、それらの直線の交点である原点より下側の領域となる（境界線を含む）。