東京大学 2007年 文系 第1問 解説

方針・初手

第1の不等式を $(y - 0)(y - (|x^2 - 5| - 4)) \leqq 0$ と見なすことで、$y$ が $0$ と $|x^2 - 5| - 4$ の間にあることを読み取る。$f(x) = |x^2 - 5| - 4$ とおき、$x$ の範囲によって絶対値を外し、第2の不等式 $y \leqq -x^2 + 2x + 3$ との共通部分を求める。

解法1

(1)

与えられた連立不等式は以下の2つである。

$$ y(y - |x^2 - 5| + 4) \leqq 0 \quad \cdots \text{①} $$

$$ y + x^2 - 2x - 3 \leqq 0 \quad \cdots \text{②} $$

$f(x) = |x^2 - 5| - 4$ とおく。 ①は $y(y - f(x)) \leqq 0$ となり、これは以下の （i） または （ii） と同値である。

(i)

$f(x) \geqq 0$ かつ $0 \leqq y \leqq f(x)$

(ii)

$f(x) \leqq 0$ かつ $f(x) \leqq y \leqq 0$

また、②は $y \leqq -x^2 + 2x + 3$ と変形できる。右辺を $g(x) = -x^2 + 2x + 3$ とおく。

$f(x)$ の絶対値を外すため、$x^2 - 5$ の符号で場合分けをする。 $x^2 - 5 \geqq 0$ すなわち $x \leqq -\sqrt{5}, \sqrt{5} \leqq x$ のとき、

$$ f(x) = x^2 - 5 - 4 = x^2 - 9 $$

$x^2 - 5 \leqq 0$ すなわち $-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$ のとき、

$$ f(x) = -(x^2 - 5) - 4 = -x^2 + 1 $$

さらに $f(x)$ の符号が変わる境界を調べる。 $x^2 - 9 = 0$ を解くと $x = \pm 3$。 $-x^2 + 1 = 0$ を解くと $x = \pm 1$。 これらを総合すると、領域 $D$ は以下のように分けられる。

(ア) $x < -1$ のとき $x < -\sqrt{5}$ のとき $f(x) = x^2 - 9$、$g(x) = -x^2 + 2x + 3$ である。 $f(x) - g(x) = 2x^2 - 2x - 12 = 2(x+2)(x-3)$ となり、$x < -\sqrt{5}$ においては $f(x) - g(x) > 0$ すなわち $f(x) > g(x)$ となる。 一方、$g(x) = -(x-1)^2 + 4$ より $x < -1$ では単調増加であり、$x = -1$ のとき $g(-1) = 0$ であるため、$x < -1$ では常に $g(x) < 0$ である。 したがって、$y \geqq 0$ となる条件 （i） を満たす部分は存在しない。条件 （ii） を考える場合、$f(x) \leqq y \leqq 0$ かつ $y \leqq g(x)$ となるが、$f(x) > g(x)$ であるから $f(x) \leqq y \leqq g(x)$ を満たす $y$ は存在しない。

$-\sqrt{5} \leqq x < -1$ のとき $f(x) = -x^2 + 1 < 0$、$g(x) = -x^2 + 2x + 3$ である。 $g(x) - f(x) = 2x + 2 = 2(x+1) < 0$ より $g(x) < f(x)$ である。 条件 （ii） より $f(x) \leqq y \leqq 0$ となるが、$y \leqq g(x)$ と合わせると $f(x) \leqq y \leqq g(x)$ となり、これも満たす $y$ は存在しない。 よって $x < -1$ において領域 $D$ は存在しない。

(イ) $-1 \leqq x \leqq 1$ のとき $f(x) = -x^2 + 1 \geqq 0$ であるから、条件 （i） より $0 \leqq y \leqq -x^2 + 1$。 このとき $g(x) - f(x) = 2(x+1) \geqq 0$ より、常に $f(x) \leqq g(x)$ が成り立つ。 よって $0 \leqq y \leqq f(x) \leqq g(x)$ となり、①と②を両方満たす領域は以下のようになる。

$$ 0 \leqq y \leqq -x^2 + 1 $$

(ウ) $1 \leqq x \leqq \sqrt{5}$ のとき $f(x) = -x^2 + 1 \leqq 0$ であるから、条件 （ii） より $-x^2 + 1 \leqq y \leqq 0$。 また $x \leqq \sqrt{5} < 3$ より $g(x) \geqq 0$ である。 したがって、$y \leqq 0$ を満たせば自動的に $y \leqq g(x)$ も満たす。 よって領域は以下のようになる。

$$ -x^2 + 1 \leqq y \leqq 0 $$

(エ) $\sqrt{5} \leqq x \leqq 3$ のとき $f(x) = x^2 - 9 \leqq 0$ であるから、条件 （ii） より $x^2 - 9 \leqq y \leqq 0$。 この区間でも $g(x) \geqq 0$ であるため、$y \leqq 0$ を満たせば $y \leqq g(x)$ も満たす。 よって領域は以下のようになる。

$$ x^2 - 9 \leqq y \leqq 0 $$

(オ) $x > 3$ のとき $f(x) = x^2 - 9 > 0$ より条件 （i） となるが、$x > 3$ では $g(x) < 0$ であるため、$0 \leqq y \leqq g(x)$ を満たす $y$ は存在しない。

以上より、領域 $D$ は $-1 \leqq x \leqq 1$ において $0 \leqq y \leqq -x^2 + 1$ $1 \leqq x \leqq \sqrt{5}$ において $-x^2 + 1 \leqq y \leqq 0$ $\sqrt{5} \leqq x \leqq 3$ において $x^2 - 9 \leqq y \leqq 0$ を満たす部分である。これを図示すると、解答下部の説明の通りとなる。

(2)

（1）の結果より、領域 $D$ の面積 $S$ は次のように3つの定積分の和として求められる。

$$ S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx + \int_{1}^{\sqrt{5}} \{ 0 - (-x^2 + 1) \} dx + \int_{\sqrt{5}}^{3} \{ 0 - (x^2 - 9) \} dx $$

$$ S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx + \int_{1}^{\sqrt{5}} (x^2 - 1) dx + \int_{\sqrt{5}}^{3} (-x^2 + 9) dx $$

それぞれを計算する。

$$ \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3} $$

$$ \int_{1}^{\sqrt{5}} (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x \right]_{1}^{\sqrt{5}} = \left( \frac{5\sqrt{5}}{3} - \sqrt{5} \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{2}{3} $$

$$ \int_{\sqrt{5}}^{3} (-x^2 + 9) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 9x \right]_{\sqrt{5}}^{3} = (-9 + 27) - \left( -\frac{5\sqrt{5}}{3} + 9\sqrt{5} \right) = 18 - \frac{22\sqrt{5}}{3} $$

これらを足し合わせる。

$$ S = \frac{4}{3} + \left( \frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{2}{3} \right) + \left( 18 - \frac{22\sqrt{5}}{3} \right) $$

$$ S = \frac{6}{3} + 18 - \frac{20\sqrt{5}}{3} $$

$$ S = 20 - \frac{20\sqrt{5}}{3} $$

解説

第1の不等式の左辺が積の形になっていることに着目し、$f(x) = |x^2 - 5| - 4$ とおいて $y$ と $f(x)$ の大小関係に帰着させるのが定石である。絶対値記号を含む関数は、中身の正負で場合分けをしてグラフの概形を捉えると見通しが良くなる。 本問で最も注意すべきは、$x < -1$ および $x > 3$ の領域で、第1の不等式を満たす $y$ が第2の不等式 $y \leqq -x^2 + 2x + 3$ と矛盾し、該当する領域が存在しないことを正しく論証できるかという点である。グラフの上下関係を不等式で正確に評価することが求められる。

答え

(1)

領域 $D$ は、以下の3つの曲線と直線で囲まれた部分（境界線を含む）である。 曲線 $y = -x^2 + 1 \quad (-1 \leqq x \leqq \sqrt{5})$ 曲線 $y = x^2 - 9 \quad (\sqrt{5} \leqq x \leqq 3)$ 直線 $y = 0 \quad (-1 \leqq x \leqq 3)$

(2)

$$ 20 - \frac{20\sqrt{5}}{3} $$