東北大学 2021年 理系 第1問 解説

方針・初手

$f(x)=ax^2+bx+1$ とおく。求める条件は、曲線 $y=f(x)$ が $x>0$ で $x$ 軸と交わらないことである。

$f(0)=1>0$ であるから、$x>0$ に解をもたないためには、$x>0$ で常に $f(x)>0$ であればよい。そこで $a$ の符号と、放物線の頂点の位置で場合分けする。

解法1

$f(x)=ax^2+bx+1$ とする。

（i） $a<0$ のとき

このとき

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty $$

であり、しかも $f(0)=1>0$ である。よって中間値の定理より、$x>0$ において

$$ f(x)=0 $$

を満たす点が少なくとも1つ存在する。

したがって、$a<0$ は条件を満たさない。

（ii） $a=0$ のとき

このとき

$$ f(x)=bx+1 $$

である。

$bx+1=0$ の解は $b\neq 0$ のとき

$$ x=-\frac{1}{b} $$

であるから、これが正となるのは $b<0$ のときである。したがって、$x>0$ に解をもたない条件は

$$ b\geqq 0 $$

である。

（iii） $a>0$ のとき

（1） $b\geqq 0$ のとき

$f'(x)=2ax+b$ であり、$x>0$ では

$$ f'(x)=2ax+b>0 $$

となる。よって $f(x)$ は $x>0$ で単調増加である。

しかも $f(0)=1>0$ であるから、$x>0$ で常に

$$ f(x)>0 $$

となる。したがって、この場合はすべて条件を満たす。

（2） $b<0$ のとき

放物線の頂点の $x$ 座標は

$$ x=-\frac{b}{2a} $$

であり、$a>0,\ b<0$ よりこれは正である。したがって、$x>0$ における最小値は頂点でとる。

その値は

$$ f\left(-\frac{b}{2a}\right) =a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+1 =1-\frac{b^2}{4a} $$

である。

$x>0$ で $x$ 軸と共有点をもたないためには、この最小値が正であることが必要十分である。よって

$$ 1-\frac{b^2}{4a}>0 $$

すなわち

$$ 4a-b^2>0 $$

であり、

$$ a>\frac{b^2}{4} $$

となる。

以上をまとめると、条件を満たすのは

• $a=0,\ b\geqq 0$
• $a>0,\ b\geqq 0$
• $a> \dfrac{b^2}{4},\ b<0$

である。

前二者はまとめて

$$ a\geqq 0,\ b\geqq 0 $$

と書けるから、求める領域は

$$ {(a,b)\mid a\geqq 0,\ b\geqq 0} \cup \left{(a,b)\mid b<0,\ a>\frac{b^2}{4}\right} $$

である。

解説

この問題の要点は、$x$ の正の範囲だけを見ればよいことである。

$a<0$ なら右下がりに無限に下がるので、$f(0)=1>0$ と合わせて必ず正の部分で $x$ 軸と交わる。したがって $a<0$ は即座に除外できる。

$a>0$ では、頂点が $x>0$ に来るかどうかが本質である。$b\geqq 0$ なら頂点は $x\leqq 0$ にあり、正の範囲では増加しているので安全である。$b<0$ なら頂点が正の範囲に入るため、その最小値が正かどうかを調べればよい。

係数平面では、$b\geqq 0$ の部分では第1象限と正の座標軸上がすべて入り、$b<0$ の部分では放物線

$$ a=\frac{b^2}{4} $$

の右側が求める領域になる。ただし、$b<0$ における放物線上は接してしまうので含まない。

答え

求める領域は

$$ {(a,b)\mid a\geqq 0,\ b\geqq 0} \cup \left{(a,b)\mid b<0,\ a>\frac{b^2}{4}\right} $$

である。

すなわち、$ab$ 平面で

• $b\geqq 0$ では $a\geqq 0$ の部分全部
• $b<0$ では放物線 $a=\dfrac{b^2}{4}$ の右側

であり、放物線上のうち $b<0$ の部分は含まない。