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東京大学 1985年文系第2問解説

方針・初手

座標平面を設定し、時刻 $t$ に応じた甲と乙の座標を立式する。両者とも途中で進行方向が変わるため、経路の切り替わり時刻を求めて場合分けを行う。その後、2点間の距離の2乗を $t$ の関数として表し、その最小値を求める。

解法1

点 $A$ を原点 $(0,0)$ とし、各頂点の座標を $A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(1,1)$、$D(0,1)$ とする。点 $M$ は辺 $CD$ の中点より $M\left(\frac{1}{2}, 1\right)$、点 $N$ は辺 $DA$ の中点より $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ である。

各線分の長さは以下のようになる。

$$ AM = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + (1 - 0)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$

$$ MB = \sqrt{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + (0 - 1)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$

$$ BN = \sqrt{(0 - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$

$$ NC = \sqrt{(1 - 0)^2 + \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$

甲が進む総距離は $AM + MB = \sqrt{5}$ (km)、乙が進む総距離は $BN + NC = \sqrt{5}$ (km) である。両者はこの距離を $30$ 分かけて一定の速さで進むため、甲が点 $M$ に到達する時刻と、乙が点 $N$ に到達する時刻はともに出発から $15$ 分後となる。

出発から $t$ 分後 ($0 \leqq t \leqq 30$) の甲の位置を $P$、乙の位置を $Q$ とし、$t$ の値で場合分けをする。

(i) $0 \leqq t \leqq 15$ のとき

甲は線分 $AM$ 上を、乙は線分 $BN$ 上を進む。それぞれの位置ベクトルは以下のように表される。

$$ \vec{OP} = \vec{OA} + \frac{t}{15}\vec{AM} = \frac{t}{15}\left(\frac{1}{2}, 1\right) = \left(\frac{t}{30}, \frac{t}{15}\right) $$

$$ \vec{OQ} = \vec{OB} + \frac{t}{15}\vec{BN} = (1, 0) + \frac{t}{15}\left(-1, \frac{1}{2}\right) = \left(1 - \frac{t}{15}, \frac{t}{30}\right) $$

甲と乙の距離の2乗 $PQ^2$ を $f(t)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} f(t) &= \left( 1 - \frac{t}{15} - \frac{t}{30} \right)^2 + \left( \frac{t}{30} - \frac{t}{15} \right)^2 \\ &= \left( 1 - \frac{t}{10} \right)^2 + \left( -\frac{t}{30} \right)^2 \\ &= 1 - \frac{t}{5} + \frac{t^2}{100} + \frac{t^2}{900} \\ &= \frac{1}{90}t^2 - \frac{1}{5}t + 1 \\ &= \frac{1}{90}(t^2 - 18t) + 1 \\ &= \frac{1}{90}(t - 9)^2 + \frac{1}{10} \end{aligned} $$

$0 \leqq t \leqq 15$ より、$t = 9$ のとき $f(t)$ は最小値 $\frac{1}{10}$ をとる。

(ii) $15 \leqq t \leqq 30$ のとき

甲は線分 $MB$ 上を、乙は線分 $NC$ 上を進む。甲が点 $M$ を、乙が点 $N$ を出発してから $s$ 分後 ($s = t - 15$, $0 \leqq s \leqq 15$) と考える。

$$ \vec{OP} = \vec{OM} + \frac{s}{15}\vec{MB} = \left(\frac{1}{2}, 1\right) + \frac{s}{15}\left(\frac{1}{2}, -1\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{s}{30}, 1 - \frac{s}{15}\right) = \left(\frac{t}{30}, 2 - \frac{t}{15}\right) $$

$$ \vec{OQ} = \vec{ON} + \frac{s}{15}\vec{NC} = \left(0, \frac{1}{2}\right) + \frac{s}{15}\left(1, \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{s}{15}, \frac{1}{2} + \frac{s}{30}\right) = \left(\frac{t}{15} - 1, \frac{t}{30}\right) $$

同様に距離の2乗 $f(t)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(t) &= \left( \frac{t}{15} - 1 - \frac{t}{30} \right)^2 + \left( \frac{t}{30} - \left(2 - \frac{t}{15}\right) \right)^2 \\ &= \left( \frac{t}{30} - 1 \right)^2 + \left( \frac{t}{10} - 2 \right)^2 \\ &= \left( \frac{t^2}{900} - \frac{t}{15} + 1 \right) + \left( \frac{t^2}{100} - \frac{2}{5}t + 4 \right) \\ &= \frac{1}{90}t^2 - \frac{7}{15}t + 5 \\ &= \frac{1}{90}(t^2 - 42t) + 5 \\ &= \frac{1}{90}(t - 21)^2 + \frac{1}{10} \end{aligned} $$

$15 \leqq t \leqq 30$ より、$t = 21$ のとき $f(t)$ は最小値 $\frac{1}{10}$ をとる。

（i）, （ii）より、甲と乙の距離の2乗が最小になるのは $t=9, 21$ のときであり、最小値は $\frac{1}{10}$ である。求める最小距離はその平方根をとって $\frac{\sqrt{10}}{10}$ (km) となる。

解法2

相対位置ベクトルを利用して図形的に解く。解法1と同様に座標を設定し、甲から見た乙の相対位置 $\vec{PQ}$ の軌跡を考える。

(i) $0 \leqq t \leqq 15$ のとき

$$ \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \left(1 - \frac{t}{10}, -\frac{t}{30}\right) $$

この相対座標を $(x, y)$ とおくと、

$$ \begin{cases} x = 1 - \frac{t}{10} \\ y = -\frac{t}{30} \end{cases} $$

$t$ を消去すると $x - 3y - 1 = 0$ となる。すなわち、甲から見た乙は、この直線の $0 \leqq t \leqq 15$ に対応する線分上を動く。この線分と原点 $(0,0)$ （甲の相対位置）との最短距離 $d_1$ は、原点から直線に下ろした垂線の長さであると推測できる。点と直線の距離の公式より、

$$ d_1 = \frac{|0 - 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $$

原点から直線に下ろした垂線の足の座標を求めるため、直線 $x - 3y - 1 = 0$ に直交し原点を通る直線 $3x + y = 0$ との交点を計算すると $\left(\frac{1}{10}, -\frac{3}{10}\right)$ となる。 $y = -\frac{3}{10}$ のとき $t = 9$ であり、これは $0 \leqq t \leqq 15$ を満たすため、実際の最短距離として成立する。

(ii) $15 \leqq t \leqq 30$ のとき

$$ \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \left(\frac{t}{30} - 1, \frac{t}{10} - 2\right) $$

相対座標を $(x, y)$ とおくと、

$$ \begin{cases} x = \frac{t}{30} - 1 \\ y = \frac{t}{10} - 2 \end{cases} $$

$t$ を消去すると $3x - y + 1 = 0$ となる。原点からこの直線への距離 $d_2$ を公式より求める。

$$ d_2 = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $$

垂線の足は、直線 $x + 3y = 0$ との交点 $\left(-\frac{3}{10}, \frac{1}{10}\right)$ となる。 $x = -\frac{3}{10}$ のとき $\frac{t}{30} - 1 = -\frac{3}{10}$ より $t = 21$ となり、これも $15 \leqq t \leqq 30$ を満たす。

以上より、最短距離をとる時刻は $t = 9, 21$ であり、そのときの距離は $\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ (km) である。

解説

2つの動点が折れ線上を動く問題の典型的な処理である。動点の速さが一定であることに着目し、どの時刻で経路が切り替わるかを先に特定してから場合分けを行う必要がある。等速直線運動を1次式を用いたベクトルで立式できれば、あとは計算問題に帰着する。解法2のように、相対位置ベクトル $\vec{PQ}$ の成分からパラメータ $t$ を消去し、点と直線の距離の公式を用いるアプローチを取ると、2次関数の煩雑な平方完成を回避できるため計算ミスを防ぎやすい。