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東京大学 1984年理系第6問解説

方針・初手

点 $P(a,b)$ に関する対称移動の式を用いて、領域 $U$ を立式する。その後、条件 $D \cap U \neq \phi$、$E \cap U \neq \phi$、$D \cap E \cap U = \phi$ をそれぞれ $x$ の2次不等式の解の存在条件や、常に成り立つ条件に帰着させて処理する。領域 $D \cap E$ の境界が $x=2$ で切り替わるため、放物線の軸の位置による場合分けが生じる点に注意して進める。

解法1

領域 $D$ 内の点 $(x, y)$ と、点 $P(a, b)$ に関して対称な点を $(X, Y)$ とすると、線分の中点が $P$ であるから、

$$ \frac{x+X}{2} = a, \quad \frac{y+Y}{2} = b $$

すなわち、$x = 2a-X$、$y = 2b-Y$ となる。これを $D$ の表す不等式 $y \geqq x^2$ に代入すると、

$$ 2b-Y \geqq (2a-X)^2 \iff Y \leqq -(X-2a)^2 + 2b $$

したがって、領域 $U$ は不等式 $y \leqq -(x-2a)^2 + 2b$ で表される。

条件1：$D \cap U \neq \phi$ について

$y \geqq x^2$ かつ $y \leqq -(x-2a)^2 + 2b$ を満たす実数 $(x, y)$ が存在するための条件は、不等式 $x^2 \leqq -(x-2a)^2 + 2b$ すなわち

$$ 2x^2 - 4ax + 4a^2 - 2b \leqq 0 $$

を満たす実数 $x$ が存在することである。この $x$ についての2次方程式の判別式を $D_1$ とすると、$D_1 \geqq 0$ が条件となるから、

$$ \frac{D_1}{4} = (-2a)^2 - 2(4a^2 - 2b) = 4b - 4a^2 \geqq 0 $$

よって、$b \geqq a^2$ を得る。

条件2：$E \cap U \neq \phi$ について

$E$ は $y \geqq (x-4)^2$ であるから、条件1と同様に $(x-4)^2 \leqq -(x-2a)^2 + 2b$ すなわち

$$ 2x^2 - 4(a+2)x + 4a^2 + 16 - 2b \leqq 0 $$

を満たす実数 $x$ が存在すればよい。判別式を $D_2$ とすると、

$$ \frac{D_2}{4} = \{-2(a+2)\}^2 - 2(4a^2 + 16 - 2b) = 4(b - (a-2)^2) \geqq 0 $$

よって、$b \geqq (a-2)^2$ を得る。

条件3：$D \cap E \cap U = \phi$ について

境界線 $y = x^2$ と $y = (x-4)^2$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 = (x-4)^2$ より $x=2$ である。領域 $D \cap E$ は $y \geqq \max(x^2, (x-4)^2)$ で表される。 $D \cap E \cap U = \phi$ となるための条件は、すべての実数 $x$ に対して

$$ -(x-2a)^2 + 2b < \max(x^2, (x-4)^2) $$

が成り立つことである。これは次の2つの条件（i）, （ii）が同時に成り立つことと同値である。

(i)

$x \geqq 2$ を満たすすべての $x$ に対して $-(x-2a)^2 + 2b < x^2$ が成り立つ。すなわち、$f_1(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 - 2b > 0$ が $x \geqq 2$ で常に成り立つ。 $f_1(x) = 2(x-a)^2 + 2a^2 - 2b$ であり、軸は $x=a$ である。

$a \geqq 2$ のとき、$x \geqq 2$ における $f_1(x)$ の最小値は $f_1(a) = 2a^2 - 2b$ である。条件は $2a^2 - 2b > 0 \implies b < a^2$ となるが、これは条件1（$b \geqq a^2$）と矛盾する。
$a < 2$ のとき、$x \geqq 2$ における $f_1(x)$ の最小値は $f_1(2) = 8 - 8a + 4a^2 - 2b$ である。条件は $f_1(2) > 0 \implies 2b < 4a^2 - 8a + 8 \implies b < 2(a-1)^2 + 2$ となる。

(ii)

$x \leqq 2$ を満たすすべての $x$ に対して $-(x-2a)^2 + 2b < (x-4)^2$ が成り立つ。すなわち、$f_2(x) = 2x^2 - 4(a+2)x + 4a^2 + 16 - 2b > 0$ が $x \leqq 2$ で常に成り立つ。 $f_2(x) = 2(x-(a+2))^2 + 2(a-2)^2 - 2b$ であり、軸は $x=a+2$ である。

$a+2 \leqq 2$ すなわち $a \leqq 0$ のとき、$x \leqq 2$ における $f_2(x)$ の最小値は $f_2(a+2) = 2(a-2)^2 - 2b$ である。条件は $2(a-2)^2 - 2b > 0 \implies b < (a-2)^2$ となるが、これは条件2（$b \geqq (a-2)^2$）と矛盾する。
$a+2 > 2$ すなわち $a > 0$ のとき、$x \leqq 2$ における $f_2(x)$ の最小値は $f_2(2) = 4a^2 - 8a + 8 - 2b$ である。条件は $f_2(2) > 0 \implies b < 2(a-1)^2 + 2$ となる。

以上より、矛盾を避けるためには $0 < a < 2$ でなければならず、そのもとで $b < 2(a-1)^2 + 2$ が得られる。

これらと条件1、条件2をまとめると、点 $P(a,b)$ の満たすべき条件は以下の連立不等式となる。

$$ \begin{cases} b \geqq a^2 \\ b \geqq (a-2)^2 \\ b < 2(a-1)^2 + 2 \\ 0 < a < 2 \end{cases} $$

解説

図形の対称移動の基本操作に加え、領域の包含・交差条件を2次関数の最大・最小問題に帰着させる総合的な問題である。 $D \cap E \cap U = \phi$ の処理において、グラフの上下関係を不等式で表し、放物線の軸の位置と定義域の境界 $x=2$ との位置関係によって場合分けを行うことが最大の鍵となる。「軸が区間内にある場合は他の条件と矛盾する」ことを丁寧に論証することが解答の精度を分ける。

答え

点 $P(a,b)$ 全体の集合は、以下の連立不等式で表される領域である。

$$ \begin{cases} b \geqq a^2 \\ b \geqq (a-2)^2 \\ b < 2(a-1)^2 + 2 \\ 0 < a < 2 \end{cases} $$

これを $ab$ 平面上に図示すると、3つの放物線 $b=a^2$, $b=(a-2)^2$, $b=2(a-1)^2+2$ で囲まれた領域となる。境界線については、曲線 $b=a^2$ ($1 \leqq a < 2$) および $b=(a-2)^2$ ($0 < a \leqq 1$) 上の点は含み、曲線 $b=2(a-1)^2+2$ 上の点および2点 $(0,4), (2,4)$ は含まない。