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東京大学 2015年理系第1問解説

方針・初手

与えられた方程式が表す図形が通過する領域を求める問題である。通過領域を求めるための代表的なアプローチとして、次の2つが考えられる。

逆像法（存在条件の追求）：$(x, y)$ を固定し、$a$ についての方程式とみなす。この方程式が $a > 0$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつための $(x, y)$ の条件を求める。
順像法（ファクシミリの原理）：$x$ を固定し、$a$ を $a > 0$ の範囲で動かしたときの $y$ のとりうる値の範囲（値域）を調べる。

本問ではどちらの手法でも解決可能であるため、両方の解法を示す。

解法1

方程式 $y = ax^2 + \frac{1 - 4a^2}{4a}$ を $a$ について整理する。 $a > 0$ より、両辺に $4a$ を掛けても同値性は崩れない。

$$ 4ay = 4a^2 x^2 + 1 - 4a^2 $$

$$ 4(x^2 - 1)a^2 - 4ya + 1 = 0 $$

点 $(x, y)$ が求める領域に含まれるための条件は、この $a$ についての方程式が $a > 0$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。 $a^2$ の係数 $4(x^2 - 1)$ の値によって場合分けを行う。

(i)

$x^2 - 1 = 0$ すなわち $x = \pm 1$ のとき

方程式は $-4ya + 1 = 0$ となる。これを満たす $a$ は $a = \frac{1}{4y}$ であり、これが $a > 0$ を満たす条件は

$$ y > 0 $$

(ii)

$x^2 - 1 > 0$ すなわち $x < -1$ または $1 < x$ のとき

$f(a) = 4(x^2 - 1)a^2 - 4ya + 1$ とおく。 $y = f(a)$ のグラフは下に凸の放物線であり、$f(0) = 1 > 0$ である。したがって、$f(a) = 0$ が $a > 0$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ条件は、放物線の軸が正の部分にあり、かつ判別式を $D$ としたとき $D \ge 0$ となることである。

軸の方程式は $a = \frac{4y}{8(x^2 - 1)} = \frac{y}{2(x^2 - 1)}$ であるから、

$$ \frac{y}{2(x^2 - 1)} > 0 \iff y > 0 $$

また、判別式について

$$ \frac{D}{4} = (-2y)^2 - 4(x^2 - 1) \cdot 1 = 4y^2 - 4x^2 + 4 \ge 0 $$

$$ x^2 - y^2 \le 1 $$

以上より、この場合の条件は

$$ y > 0 \quad \text{かつ} \quad x^2 - y^2 \le 1 $$

(iii)

$x^2 - 1 < 0$ すなわち $-1 < x < 1$ のとき

$f(a) = 4(x^2 - 1)a^2 - 4ya + 1$ において、$y = f(a)$ のグラフは上に凸の放物線である。 $f(0) = 1 > 0$ であるため、グラフは必ず $a > 0$ の部分と $a < 0$ の部分でそれぞれ1回ずつ $a$ 軸と交わる。すなわち、すべての実数 $y$ に対して、$f(a) = 0$ を満たす正の実数 $a$ が必ず1つ存在する。したがって、この範囲の条件は

$$ すべての実数 y $$

解法2

与式を $y$ について整理し、$x$ を固定して $a > 0$ を動かしたときの $y$ の値域を調べる。

$$ y = a(x^2 - 1) + \frac{1}{4a} $$

$x$ の値によって場合分けを行う。

(i)

$x^2 - 1 > 0$ すなわち $x < -1$ または $1 < x$ のとき

$a > 0$ のとき、$a(x^2 - 1) > 0$ かつ $\frac{1}{4a} > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ y = a(x^2 - 1) + \frac{1}{4a} \ge 2\sqrt{a(x^2 - 1) \cdot \frac{1}{4a}} = \sqrt{x^2 - 1} $$

等号が成立するのは、$a(x^2 - 1) = \frac{1}{4a}$ すなわち $a^2 = \frac{1}{4(x^2 - 1)}$ のときである。これを満たす正の実数 $a$ は $a = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}}$ として確かに存在する。また、$\lim_{a \to \infty} y = \infty$ であり、$y$ は $a > 0$ において連続であるから、

$$ y \ge \sqrt{x^2 - 1} $$

(ii)

$x^2 - 1 = 0$ すなわち $x = \pm 1$ のとき

$$ y = \frac{1}{4a} $$

$a$ が正の実数全体を動くとき、$\frac{1}{4a}$ も正の実数全体を動く。したがって、

$$ y > 0 $$

(iii)

$x^2 - 1 < 0$ すなわち $-1 < x < 1$ のとき

$y = a(x^2 - 1) + \frac{1}{4a}$ において、$x^2 - 1 < 0$ であることに注意して極限をとると、

$$ \lim_{a \to +0} y = \infty $$

$$ \lim_{a \to \infty} y = -\infty $$

$y$ は $a > 0$ において連続であるから、中間値の定理によりすべての実数値をとる。したがって、

$$ すべての実数 y $$

解説

解法1は、条件を2次方程式の解の配置問題に帰着させる標準的な手法（逆像法）である。最高次の係数が $0$ になる場合を忘れずに分けることと、上に凸・下に凸の違いによる解の存在条件の違いに注意する必要がある。解法2は、変数を固定して関数の値域を調べる手法（順像法）である。本問の形であれば、相加平均と相乗平均の大小関係を用いることで、微分の計算を回避して極めて鮮やかに値域を求めることができる。試験本番では解法2の方針に気づけると大幅な時間短縮になる。

答え

求める領域は以下の不等式を満たす点 $(x, y)$ の集合である。

$x < -1$ または $1 < x$ のとき、$y \ge \sqrt{x^2 - 1}$
$x = \pm 1$ のとき、$y > 0$
$-1 < x < 1$ のとき、すべての実数 $y$

図示する領域の形状は以下のようになる。

境界線は双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の $y \ge 0$ の部分（$y = \sqrt{x^2 - 1}$）であり、領域は $-1 < x < 1$ の帯状の範囲では全平面、 $x \le -1$ または $1 \le x$ の範囲では双曲線の上側の枝およびその内側（上側）となる。境界線については、双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の $y > 0$ の部分は領域に含まれるが、点 $(1, 0)$ および $(-1, 0)$ は含まれない。