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東京大学 1984年理系第1問解説

方針・初手

円板 $C$ を含む平面の方程式を求め、円板 $C$ 上の点を2つのパラメータを用いて表す。点光源 $P$ と $C$ 上の点を結ぶ直線が $xy$ 平面と交わる点の軌跡を求めることで、影 $S$ の輪郭を導出する。

後半の体積計算においては、立体の形状を把握し、積分を用いずに2つの錐体の体積の差として計算する方針をとると見通しがよい。

解法1

(i)

円板 $C$ を含む平面を $\alpha$ とする。$C$ は $0 \leqq y, 0 \leqq z$ の領域に含まれ、$xy$ 平面と $45^\circ$ の傾きをなし、かつ原点 $O$ で $x$ 軸に接している。

$x$ 軸が接線となるため、平面 $\alpha$ は $x$ 軸を含む。したがって、$\alpha$ は $xy$ 平面（$z=0$）を $x$ 軸の周りに $45^\circ$ 回転させた平面であり、その方程式は $z = y$ または $z = -y$ である。$0 \leqq y, 0 \leqq z$ の条件から、平面 $\alpha$ の方程式は $z = y$ と定まる。

円板 $C$ の中心を $A$ とする。原点 $O$ において $x$ 軸と接するため、直線 $OA$ は平面 $\alpha$ 上で $x$ 軸と垂直に交わる。よって、点 $A$ の $x$ 座標は $0$ である。

点 $A$ は $\alpha: z = y$ 上にあり、$0 \leqq y, 0 \leqq z$ を満たすので、$A(0, a, a)$ （$a \geqq 0$）とおける。$C$ の半径は $1$ であるから、$OA = 1$ より $\sqrt{a^2 + a^2} = 1$ となり、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を得る。すなわち、中心 $A$ の座標は $\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ である。

平面 $\alpha$ 上において、互いに直交する長さ $1$ のベクトル $\vec{e}_1 = (1, 0, 0)$ と $\vec{e}_2 = \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ をとる。円板 $C$ 上の任意の点 $Q$ は、$u^2 + v^2 \leqq 1$ を満たす実数 $u, v$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{OQ} = \vec{OA} + u\vec{e}_1 + v\vec{e}_2 $$

$\vec{OA} = \vec{e}_2$ であるから、次のように整理できる。

$$ \vec{OQ} = u\vec{e}_1 + (v+1)\vec{e}_2 = \left( u, \frac{v+1}{\sqrt{2}}, \frac{v+1}{\sqrt{2}} \right) $$

点光源 $P(0, 0, 2\sqrt{2})$ から点 $Q$ を通って $xy$ 平面に達する光線を考え、その $xy$ 平面（$z=0$）との交点を $R(X, Y, 0)$ とする。点 $R$ は直線 $PQ$ 上にあるため、実数 $t$ を用いて $\vec{OR} = \vec{OP} + t\vec{PQ}$ と表せる。

$$ \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \left( u, \frac{v+1}{\sqrt{2}}, \frac{v+1}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} \right) $$

点 $R$ の $z$ 座標が $0$ であることから、次の方程式が成り立つ。

$$ 2\sqrt{2} + t \left( \frac{v+1}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} \right) = 0 $$

両辺に $\sqrt{2}$ を掛けて整理する。

$$ 4 + t(v + 1 - 4) = 0 $$

$$ t(3-v) = 4 $$

$u^2 + v^2 \leqq 1$ より $-1 \leqq v \leqq 1$ であるから $3-v \neq 0$ となり、$t = \frac{4}{3-v}$ を得る。これを用いて $X, Y$ を求める。

$$ X = tu = \frac{4u}{3-v} $$

$$ Y = t \cdot \frac{v+1}{\sqrt{2}} = \frac{4(v+1)}{\sqrt{2}(3-v)} = \frac{2\sqrt{2}(v+1)}{3-v} $$

影 $S$ の輪郭は、点 $Q$ が円板 $C$ の境界上を動くときの点 $R$ の軌跡である。境界上では $u^2 + v^2 = 1$ が成り立つため、$u, v$ を $X, Y$ について解き、この式に代入する。

まず、$Y = \frac{2\sqrt{2}(v+1)}{3-v}$ を $v$ について解く。

$$ Y(3-v) = 2\sqrt{2}(v+1) $$

$$ 3Y - vY = 2\sqrt{2}v + 2\sqrt{2} $$

$$ v(Y + 2\sqrt{2}) = 3Y - 2\sqrt{2} $$

光線が到達する先であるから $Y \geqq 0$ であり、$Y + 2\sqrt{2} \neq 0$ である。よって次を得る。

$$ v = \frac{3Y - 2\sqrt{2}}{Y + 2\sqrt{2}} $$

これを $3-v$ の式に代入する。

$$ 3-v = 3 - \frac{3Y - 2\sqrt{2}}{Y + 2\sqrt{2}} = \frac{3Y + 6\sqrt{2} - (3Y - 2\sqrt{2})}{Y + 2\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{Y + 2\sqrt{2}} $$

これを用いて $X = \frac{4u}{3-v}$ を $u$ について解く。

$$ u = \frac{X(3-v)}{4} = \frac{X}{4} \cdot \frac{8\sqrt{2}}{Y + 2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}X}{Y + 2\sqrt{2}} $$

得られた $u, v$ を $u^2 + v^2 = 1$ に代入する。

$$ \left( \frac{2\sqrt{2}X}{Y + 2\sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{3Y - 2\sqrt{2}}{Y + 2\sqrt{2}} \right)^2 = 1 $$

両辺に $(Y + 2\sqrt{2})^2$ を掛けて展開する。

$$ 8X^2 + (9Y^2 - 12\sqrt{2}Y + 8) = Y^2 + 4\sqrt{2}Y + 8 $$

整理すると次の方程式が得られる。

$$ 8X^2 + 8Y^2 - 16\sqrt{2}Y = 0 $$

$$ X^2 + Y^2 - 2\sqrt{2}Y = 0 $$

変数を $x, y$ に戻して、求める曲線の方程式を得る。

(ii)

光の届かない部分の立体は、光源 $P$ を頂点とし、影 $S$ を底面とする錐体 $K_1$ の内部から、光源 $P$ を頂点とし、円板 $C$ を底面とする錐体 $K_2$ の内部を除いたものである。したがって、求める体積 $V$ は、2つの錐体の体積の差 $V = (K_1 \text{の体積}) - (K_2 \text{の体積})$ として計算できる。

錐体 $K_1$ の体積

底面となる影 $S$ は、(i) より $x^2 + (y-\sqrt{2})^2 \leqq 2$ で表される半径 $\sqrt{2}$ の円である。その面積は $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$ である。

頂点 $P(0, 0, 2\sqrt{2})$ から底面である $xy$ 平面 ($z=0$) までの距離（高さ）は $2\sqrt{2}$ である。よって、$K_1$ の体積 $V_1$ は次のように求まる。

$$ V_1 = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\pi $$

錐体 $K_2$ の体積

底面となる円板 $C$ は半径 $1$ の円であるため、その面積は $\pi \cdot 1^2 = \pi$ である。

頂点 $P(0, 0, 2\sqrt{2})$ から底面を含む平面 $\alpha: y - z = 0$ までの距離を $h$ とすると、点と平面の距離の公式より次のように求まる。

$$ h = \frac{|0 - 2\sqrt{2}|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 $$

よって、$K_2$ の体積 $V_2$ は次のように求まる。

$$ V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 2 = \frac{2}{3}\pi $$

求める体積 $V$

以上より、求める体積 $V$ は次の通りである。