東京大学 1993年 理系 第1問 解説

方針・初手

すべての面が合同である四面体（等面四面体）は、対向する（ねじれの位置にある）辺の長さが互いに等しいという性質を持つ。これを利用して四面体の残りの辺の長さを確定させる。 また、等面四面体は直方体の8つの頂点の中から、隣り合わない4つの頂点を選ぶことで構成できる。本問では頂点 $A, B, C$ がそれぞれ直交座標の各軸上にあるという設定を活かし、座標を用いて各辺の長さを立式することで直方体の辺の長さを決定し、体積 $V(l)$ を求める。

解法1

すべての面が合同である四面体において、対向する辺の長さは等しいため、

$$ AD = BC = 2l, \quad BD = CA = 2l+1, \quad CD = AB = 2l-1 $$

である。

頂点 $A, B, C$ はそれぞれ $x, y, z$ 軸上の正の部分にあるため、$a>0, b>0, c>0$ を用いて $A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)$ とおくことができる。 線分の長さの2乗について三平方の定理より、

$$ \begin{aligned} a^2 + b^2 &= (2l-1)^2 \quad \cdots (1) \\ b^2 + c^2 &= (2l)^2 \quad \cdots (2) \\ c^2 + a^2 &= (2l+1)^2 \quad \cdots (3) \end{aligned} $$

が成り立つ。

(1) ＋ (2) ＋ (3) より、

$$ 2(a^2 + b^2 + c^2) = (4l^2 - 4l + 1) + 4l^2 + (4l^2 + 4l + 1) = 12l^2 + 2 $$

$$ a^2 + b^2 + c^2 = 6l^2 + 1 \quad \cdots (4) $$

となる。

(4) から (1), (2), (3) をそれぞれ引くことで、$a^2, b^2, c^2$ を求める。

$$ \begin{aligned} c^2 &= (6l^2 + 1) - (4l^2 - 4l + 1) = 2l^2 + 4l = 2l(l+2) \\ a^2 &= (6l^2 + 1) - 4l^2 = 2l^2 + 1 \\ b^2 &= (6l^2 + 1) - (4l^2 + 4l + 1) = 2l^2 - 4l = 2l(l-2) \end{aligned} $$

条件 $l>2$ より $l-2>0$ であるため、$2l(l-2)>0$ となり、$a^2>0, b^2>0, c^2>0$ を満たしている。 $a>0, b>0, c>0$ より、各値は以下のように定まる。

$$ a = \sqrt{2l^2+1}, \quad b = \sqrt{2l(l-2)}, \quad c = \sqrt{2l(l+2)} $$

ここで、空間内の点 $D'(a, b, c)$ を考えると、各頂点との距離の2乗は

$$ \begin{aligned} AD'^2 &= (a-a)^2 + b^2 + c^2 = b^2 + c^2 = (2l)^2 \\ BD'^2 &= a^2 + (b-b)^2 + c^2 = a^2 + c^2 = (2l+1)^2 \\ CD'^2 &= a^2 + b^2 + (c-c)^2 = a^2 + b^2 = (2l-1)^2 \end{aligned} $$

となり、$AD'=2l, BD'=2l+1, CD'=2l-1$ を満たす。 四面体の形状は6つの辺の長さで合同を除き一意に定まるため、求める四面体 $ABCD$ の体積 $V(l)$ は、頂点が $A, B, C, D'$ である四面体の体積に等しい。

四面体 $ABCD'$ は、3辺の長さが $a, b, c$ の直方体から、4つの直角四面体を取り除いた立体とみなせる。 取り除く4つの四面体（原点 $O$ を頂点とする $O-ABC$ や、点 $(a,b,0)$ を頂点とする四面体など）はすべて互いに合同であり、その底面積は直方体の面の半分、高さは直方体の辺の長さに等しいため、体積はそれぞれ直方体の体積 $abc$ の $\frac{1}{6}$ である。 したがって、四面体 $ABCD$ の体積 $V(l)$ は、

$$ V(l) = abc - 4 \times \left( \frac{1}{6}abc \right) = \frac{1}{3}abc = \frac{1}{3} \sqrt{2l^2+1} \sqrt{2l(l-2)} \sqrt{2l(l+2)} $$

となる。

以上より、求める極限値は

$$ \begin{aligned} \lim_{l \to 2} \frac{V(l)}{\sqrt{l-2}} &= \lim_{l \to 2} \frac{\frac{1}{3} \sqrt{2l^2+1} \sqrt{2l(l-2)} \sqrt{2l(l+2)}}{\sqrt{l-2}} \\ &= \lim_{l \to 2} \frac{1}{3} \sqrt{2l^2+1} \sqrt{2l} \sqrt{2l(l+2)} \\ &= \frac{1}{3} \sqrt{2 \cdot 2^2 + 1} \sqrt{2 \cdot 2} \sqrt{2 \cdot 2(2+2)} \\ &= \frac{1}{3} \sqrt{9} \sqrt{4} \sqrt{16} \\ &= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \\ &= 8 \end{aligned} $$

となる。

解説

等面四面体の代表的な性質である「直方体に埋め込むことができる」ことを背景とした問題である。本問では頂点が座標軸上にあるという設定が与えられていることで、埋め込む直方体が座標平面に平行になり、見通しよく計算を進めることができる。 $V(l)$ を求める際、ベクトルの成分を用いて行列式（あるいは外積）から体積を求める公式 $V = \frac{1}{6}|(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD'}|$ を用いても同じ結果が得られる。 極限の計算自体は、$\sqrt{l-2}$ という因数を約分して不定形を解消するだけの基本的なものであるため、図形的な条件を正しく数式に落とし込み、立体の体積を求められるかが鍵となる。

答え

$8$