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東京大学 2008年理系第3問解説

方針・初手

（1）正八面体の対称性を利用して、水平な台に置かれた状態での各頂点と面の配置を把握する。正八面体の互いに平行な2つの面（上面と下面）の重心を通る軸からの正射影を考えることで、平面図の形状を決定する。

（2）（1）の考察を利用し、上面と下面の重心を通る直線を $z$ 軸に設定して座標系を導入する。回転体の体積を求めるため、$z$ 軸に垂直な平面で立体を切断したときの断面を考え、断面において回転軸から最も遠い点（最大半径）を $z$ の関数として立式して積分する。

解法1

(1) 正八面体は、互いに平行な4組の正三角形からなる。水平な台に置かれた面を下面の $\triangle DEF$、それと平行な面を上面の $\triangle ABC$ とする。正八面体は、上面の重心 $G_1$ と下面の重心 $G_2$ の中点を中心として点対称な立体である。真上から見るということは、$G_1, G_2$ を通る直線に平行な方向から正射影をとることに等しい。

上面の $\triangle ABC$ は水平であるため、正射影において実線の正三角形として現れる。下面の $\triangle DEF$ は $\triangle ABC$ と点対称な位置関係にあるため、真上から見ると $\triangle ABC$ を180度回転させた向きの正三角形となる。正八面体の側面をなす残りの6つの正三角形は、上面の頂点と下面の頂点を交互に結んで構成されている。これらを真上から見ると、上面の3頂点と下面の3頂点は同一の円に内接する正六角形の頂点として配置されていることがわかる。

したがって、求める平面図は、外枠が正六角形となり、内部に上面の正三角形（正六角形の1つおきの頂点を結んだもの）が実線で描かれた図形となる。（下面の正三角形の辺は上面に隠れるため、描かないか破線で描く）

(2) $G_1, G_2$ を通る直線を $z$ 軸とし、正八面体の中心を原点 $O$ とする空間座標を設定する。正八面体の各辺の長さは $1$ である。上面の正三角形 $\triangle ABC$ の重心 $G_1$ から各頂点までの距離は、1辺 $1$ の正三角形の外接円の半径に等しく、$\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。また、正八面体の中心から各頂点までの距離は対角線の長さの半分であり、対角線の長さは $\sqrt{2}$ なので、距離は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。上面の $z$ 座標を $h$ とすると、直角三角形の三平方の定理より、

$$ h^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 $$

$$ h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$

よって、$h = \frac{1}{\sqrt{6}}$ となる。回転軸方向の立体の範囲は $-\frac{1}{\sqrt{6}} \leqq z \leqq \frac{1}{\sqrt{6}}$ である。

$z$ 軸に垂直な平面でこの立体を切断すると、断面は六角形（$z=h, -h$ では三角形）となる。この断面を回転させてできる円の半径 $R(z)$ は、断面の六角形の頂点と $z$ 軸との距離である。断面の頂点は、上面の頂点と下面の頂点を結ぶ6つの辺上に存在する。上面の頂点の一つを $A\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, 0, h\right)$ とする。これと結ばれる下面の頂点の一つ $D$ は、$A$ を $z$ 軸周りに $60^\circ$ 回転させて $z$ 座標を $-h$ にした点であり、$D\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}, \frac{1}{2}, -h\right)$ となる。線分 $AD$ 上の点をパラメータ $t \ (0 \leqq t \leqq 1)$ を用いて表すと、

$$ (x, y, z) = (1-t)A + tD = \left( \frac{1-t}{\sqrt{3}} + \frac{t}{2\sqrt{3}}, \frac{t}{2}, h(1-2t) \right) = \left( \frac{2-t}{2\sqrt{3}}, \frac{t}{2}, \frac{1-2t}{\sqrt{6}} \right) $$

この点の $z$ 軸からの距離の2乗 $R^2$ は、

$$ R^2 = x^2 + y^2 = \frac{(2-t)^2}{12} + \frac{t^2}{4} = \frac{4-4t+4t^2}{12} = \frac{1-t+t^2}{3} $$

また、$z$ 座標から $t$ を逆算すると、

$$ z = \frac{1-2t}{\sqrt{6}} \iff t = \frac{1 - \sqrt{6}z}{2} $$

これを $R^2$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} R^2 &= \frac{1}{3} ( 1 - t(1-t) ) \\ &= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1-\sqrt{6}z}{2} \cdot \frac{1+\sqrt{6}z}{2} \right) \\ &= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1 - 6z^2}{4} \right) \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{3 + 6z^2}{4} \right) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{2}z^2 \end{aligned} $$

回転体の体積 $V$ は、この円の面積 $\pi R^2$ を $-h$ から $h$ まで積分して求める。対称性から $z \geqq 0$ の部分を2倍すればよい。

$$ \begin{aligned} V &= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{6}}} \pi \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2}z^2 \right) dz \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{4}z + \frac{1}{6}z^3 \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{6}}} \\ &= 2\pi \left( \frac{1}{4\sqrt{6}} + \frac{1}{6 \cdot 6\sqrt{6}} \right) \\ &= 2\pi \left( \frac{9}{36\sqrt{6}} + \frac{1}{36\sqrt{6}} \right) \\ &= 2\pi \frac{10}{36\sqrt{6}} \\ &= \frac{5\pi}{9\sqrt{6}} \\ &= \frac{5\sqrt{6}\pi}{54} \end{aligned} $$

解説

正八面体の空間的な把握と、回転体の体積計算を組み合わせた問題である。（1）での平面図の考察を通じて、正八面体の頂点が $z$ 軸周りにどのように配置されているかを正確に掴むことが（2）の立式の前提となる。（2）では、回転軸からの最大距離が「側面同士の交線（上面と下面を結ぶ辺）」によって与えられることを見抜き、直線の方程式を媒介変数で表して $z$ 座標と半径の関係を導くのが典型的な処理である。