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東京大学 2018年理系第3問解説

方針・初手

点 $P$、$Q$ の動きは互いに独立であるため、それぞれの座標を別々のパラメータ（変数）を用いて表す。条件式 $\overrightarrow{OR} = \frac{1}{k} \overrightarrow{OP} + k \overrightarrow{OQ}$ に代入し、点 $R$ の座標 $(X, Y)$ をパラメータで表現する。 $Y$ 座標が一方のパラメータのみに依存する形になるため、「$Y$ を固定して $X$ の動く範囲を調べる」方針（ファクシミリの原理）が最も見通しがよい。

解法1

放物線 $C$ 上の点 $P$ を $P(t, t^2) \ (-1 \leqq t \leqq 1)$、線分 $OA$ 上の点 $Q$ を $Q(u, 0) \ (0 \leqq u \leqq 1)$ とおく。点 $R$ の座標を $(X, Y)$ とすると、与えられたベクトル方程式より、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \frac{1}{k} \begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} u \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{t}{k} + ku \\ \frac{t^2}{k} \end{pmatrix} $$

これより、各成分について以下の式が成り立つ。

$$ X = \frac{t}{k} + ku $$

$$ Y = \frac{t^2}{k} $$

$t$ が $-1 \leqq t \leqq 1$ を動くとき、$0 \leqq t^2 \leqq 1$ であるから、$Y$ のとりうる値の範囲は $0 \leqq Y \leqq \frac{1}{k}$ となる。

ある $Y \ \left( 0 \leqq Y \leqq \frac{1}{k} \right)$ を固定して考える。 $Y = \frac{t^2}{k}$ より $t^2 = kY$ であるから、$t = \pm \sqrt{kY}$ となる。 $t$ の各値に対して、$u$ が $0 \leqq u \leqq 1$ を動くときの $X$ の範囲を調べる。

$X = \frac{t}{k} + ku$ は $u$ についての単調増加な一次関数であるから、$X$ のとりうる範囲は

$$ \frac{t}{k} \leqq X \leqq \frac{t}{k} + k $$

となる。したがって、$t = \pm \sqrt{kY}$ のそれぞれの場合について、$X$ の範囲は以下の2つの区間になる。

$t = \sqrt{kY}$ のとき、これを $I_1$ とおくと、

$$ I_1 : \sqrt{\frac{Y}{k}} \leqq X \leqq \sqrt{\frac{Y}{k}} + k $$

$t = -\sqrt{kY}$ のとき、これを $I_2$ とおくと、

$$ I_2 : -\sqrt{\frac{Y}{k}} \leqq X \leqq -\sqrt{\frac{Y}{k}} + k $$

固定した $Y$ における領域の断面は、これら2つの区間の和集合 $I_1 \cup I_2$ であり、その長さを $L(Y)$ とする。区間 $I_1$ の左端は $\sqrt{\frac{Y}{k}}$、区間 $I_2$ の右端は $-\sqrt{\frac{Y}{k}} + k$ である。これら2つの区間が重なる（端点を共有する場合を含む）条件は、

$$ -\sqrt{\frac{Y}{k}} + k \geqq \sqrt{\frac{Y}{k}} $$

$$ 2\sqrt{\frac{Y}{k}} \leqq k $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ \frac{4Y}{k} \leqq k^2 $$

$$ Y \leqq \frac{k^3}{4} $$

この条件と、$Y$ の最大値 $\frac{1}{k}$ との大小関係によって場合分けを行う。境界となるのは $\frac{k^3}{4} = \frac{1}{k}$ すなわち $k^4 = 4$ のときであり、$k > 0$ より $k = \sqrt{2}$ である。

(i)

$0 < k \leqq \sqrt{2}$ のとき

$\frac{k^3}{4} \leqq \frac{1}{k}$ であるから、$Y$ の区間は $0 \leqq Y \leqq \frac{k^3}{4}$ と $\frac{k^3}{4} < Y \leqq \frac{1}{k}$ に分けられる。

$0 \leqq Y \leqq \frac{k^3}{4}$ のとき、区間 $I_1$ と $I_2$ は重なるため、結び合わさって1つの区間 $\left[ -\sqrt{\frac{Y}{k}}, \sqrt{\frac{Y}{k}} + k \right]$ になる。その長さ $L(Y)$ は、

$$ L(Y) = \left( \sqrt{\frac{Y}{k}} + k \right) - \left( -\sqrt{\frac{Y}{k}} \right) = 2\sqrt{\frac{Y}{k}} + k $$

$\frac{k^3}{4} < Y \leqq \frac{1}{k}$ のとき、区間 $I_1$ と $I_2$ は重ならない。それぞれの区間の長さはともに $k$ であるから、その合計の長さ $L(Y)$ は、

$$ L(Y) = k + k = 2k $$

したがって、領域の面積 $S(k)$ はこれらを積分して次のように求められる。

$$ S(k) = \int_{0}^{\frac{k^3}{4}} \left( 2\sqrt{\frac{Y}{k}} + k \right) dY + \int_{\frac{k^3}{4}}^{\frac{1}{k}} 2k dY $$

各項を計算する。

$$ \int_{0}^{\frac{k^3}{4}} \left( \frac{2}{\sqrt{k}} Y^{\frac{1}{2}} + k \right) dY = \left[ \frac{4}{3\sqrt{k}} Y^{\frac{3}{2}} + kY \right]_{0}^{\frac{k^3}{4}} = \frac{4}{3\sqrt{k}} \left( \frac{k^3}{4} \right)^{\frac{3}{2}} + k \left( \frac{k^3}{4} \right) = \frac{4}{3k^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{k^{\frac{9}{2}}}{8} + \frac{k^4}{4} = \frac{k^4}{6} + \frac{k^4}{4} = \frac{5}{12} k^4 $$

$$ \int_{\frac{k^3}{4}}^{\frac{1}{k}} 2k dY = 2k \left( \frac{1}{k} - \frac{k^3}{4} \right) = 2 - \frac{k^4}{2} $$

よって、

$$ S(k) = \frac{5}{12} k^4 + 2 - \frac{k^4}{2} = 2 - \frac{k^4}{12} $$

(ii)

$k > \sqrt{2}$ のとき

$\frac{1}{k} < \frac{k^3}{4}$ であるから、$0 \leqq Y \leqq \frac{1}{k}$ を満たすすべての $Y$ において $Y \leqq \frac{k^3}{4}$ が成り立つ。したがって、区間 $I_1$ と $I_2$ は常に重なり、$L(Y) = 2\sqrt{\frac{Y}{k}} + k$ となる。領域の面積 $S(k)$ は、

$$ S(k) = \int_{0}^{\frac{1}{k}} \left( 2\sqrt{\frac{Y}{k}} + k \right) dY $$

$$ = \left[ \frac{4}{3\sqrt{k}} Y^{\frac{3}{2}} + kY \right]_{0}^{\frac{1}{k}} = \frac{4}{3\sqrt{k}} \left( \frac{1}{k} \right)^{\frac{3}{2}} + k \left( \frac{1}{k} \right) = \frac{4}{3k^2} + 1 $$

以上より、$S(k)$ は次のように求められる。

$$ S(k) = \begin{cases} 2 - \frac{k^4}{12} & (0 < k \leqq \sqrt{2}) \\ 1 + \frac{4}{3k^2} & (k > \sqrt{2}) \end{cases} $$

次に、極限を求める。

$$ \lim_{k \to +0} S(k) = \lim_{k \to +0} \left( 2 - \frac{k^4}{12} \right) = 2 $$

$$ \lim_{k \to \infty} S(k) = \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{3k^2} \right) = 1 $$

解説

独立に動く2つのパラメータを持つ点の軌跡に関する問題である。このような領域を図示し面積を求めるには、「一方の変数を固定して他方を動かし、できる線分の集まりを積分する」（ファクシミリの原理）というアプローチが有効である。本問では、媒介変数表示から $Y$ を固定すると $t$ の値が決まり、それに伴って $X$ のとりうる範囲（区間）が求まるという構造になっている。 $t$ が $Y$ に対して $\pm$ の2つの値をもつことから、$X$ の区間が2つ現れる。この2つの区間が重なるか離れるかによって断面の長さが変わるため、重なる条件を立式し、$k$ の値で正しく場合分けを行うことが完答への鍵となる。