トップ› 東京大学› 2018年› 理系第1問

東京大学 2018年理系第1問解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を微分し、導関数 $f'(x)$ の符号変化を調べて増減表を作成する。その際、$f'(x)$ の分子に現れる式の一部を新しい関数として取り出し、さらに微分して符号を判定する。極限については、基本的な極限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ を用いる。

解法1

$f(x) = \frac{x}{\sin x} + \cos x$ を $x$ について微分する。商の微分公式より、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{\sin^2 x} - \sin x \\ &= \frac{\sin x - x \cos x - \sin^3 x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{\sin x (1 - \sin^2 x) - x \cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{\sin x \cos^2 x - x \cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{\cos x (\sin x \cos x - x)}{\sin^2 x} \end{aligned} $$

ここで、$g(x) = \sin x \cos x - x$ とおく。倍角の公式を用いて変形すると、

$$ g(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - x $$

$g(x)$ を微分すると、

$$ g'(x) = \cos 2x - 1 $$

$0 < x < \pi$ において、$0 < 2x < 2\pi$ であるから、常に $\cos 2x < 1$ となり、$g'(x) < 0$ である。したがって、$g(x)$ は $0 < x < \pi$ において単調に減少する。さらに、$g(0) = 0$ であるから、$0 < x < \pi$ において常に $g(x) < 0$ が成り立つ。

$f'(x)$ の式に戻ると、分母 $\sin^2 x > 0$ であり、$g(x) < 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $\cos x$ の符号と逆になる。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x > 0$ より $f'(x) < 0$ $x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x = 0$ より $f'(x) = 0$ $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$\cos x < 0$ より $f'(x) > 0$

極小値は、$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi}{2}}{1} + 0 = \frac{\pi}{2}$ である。

次に極限を調べる。 $x \to +0$ のとき、

$$ \lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} \left( \frac{x}{\sin x} + \cos x \right) = 1 + 1 = 2 $$

$x \to \pi - 0$ のとき、$\sin x \to +0$、$\cos x \to -1$、分子の $x \to \pi\ (>0)$ であるから、$\frac{x}{\sin x} \to \infty$ となる。したがって、

$$ \lim_{x \to \pi - 0} f(x) = \lim_{x \to \pi - 0} \left( \frac{x}{\sin x} + \cos x \right) = \infty $$

解説

関数の増減を調べる際、導関数 $f'(x)$ の符号が直ちに分からない場合は、符号を決定する部分だけを抜き出して別の関数（本問では $g(x)$）とおき、再度微分して調べるという手法が定石である。本問では、$f'(x)$ を整理した結果現れる $\cos x (\sin x \cos x - x)$ のうち、$\sin x \cos x - x$ の部分を $g(x)$ とおくことで見通しよく処理できる。

極限の計算においては、三角関数の基本極限 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を忘れないこと。また、$x \to \pi - 0$ の極限では分母がプラス側から $0$ に近づく（$+0$）ことを確認して $\infty$ への発散を正しく判定する。