数学2 複素数問題 3 解説

方針・初手

与えられた方程式が実数解をもつという条件から、その実数解を $x$ とおき、方程式を実部と虚部に分けて整理する。複素数の相等条件「実数 $A, B$ について、$A+Bi=0 \iff A=0$ かつ $B=0$」を利用して、$x$ と $a$ の連立方程式を導く。

解法1

方程式を満たす実数を $x$ とする。方程式を展開し、$i$ について整理すると、

$$2x^2 + x^2 i + 2x + ax i + x i - 4 + ai = 0$$

実部と虚部に分けてまとめると、

$$(2x^2 + 2x - 4) + (x^2 + ax + x + a)i = 0$$

すなわち、

$$2(x^2 + x - 2) + \{x^2 + (a+1)x + a\}i = 0$$

$x$ および $a$ は実数であるから、$2(x^2 + x - 2)$ と $x^2 + (a+1)x + a$ も実数である。したがって、複素数の相等条件より以下の2式が成り立つ。

$$2(x^2 + x - 2) = 0$$

$$x^2 + (a+1)x + a = 0$$

第1の式から $x$ を求める。

$$x^2 + x - 2 = 0$$

$$(x+2)(x-1) = 0$$

これより、$x = -2, 1$ となる。それぞれの場合について、第2の式を用いて $a$ の値を求める。

(i) $x = 1$ のとき

第2の式に代入して、

$$1^2 + (a+1) \cdot 1 + a = 0$$

$$2a + 2 = 0$$

よって、$a = -1$ である。

(ii) $x = -2$ のとき

第2の式に代入して、

$$(-2)^2 + (a+1) \cdot (-2) + a = 0$$

$$4 - 2a - 2 + a = 0$$

$$2 - a = 0$$

よって、$a = 2$ である。

以上より、求める $a$ の値は $a = -1, 2$ である。

解説

「方程式が実数解をもつ」という条件を処理する典型問題である。複素数係数の方程式では、解が実数であることと方程式の係数が実数であることは必ずしも一致しない。本問では「解 $x$ が実数である」という条件を最大限に活用し、方程式を $A+Bi=0$ （$A, B$ は実数）の形に整理して実部と虚部をそれぞれ $0$ とおくことで、解を求めることができる。未知数が $x, a$ の2つに対し、実部と虚部から2つの等式が得られるため、連立方程式として処理できるという見通しをもつことが重要である。